Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2388 / 1812
↖ ↑ ↗
← N 20.303418°
E 29.882813°		 ← 9 165.77 m → N 20.303418°
E 29.970703°		 →
↑
9 168.25 m
↓
↑
9 168.25 m
↓
N 20.220966°
E 29.882813°		 ← 9 170.64 m →
84 056 458 m²		 N 20.220966°
E 29.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5831298828125 y=0.4425048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5831298828125 × 212)
    floor (0.5831298828125 × 4096)
    floor (2388.5)     		tx = 2388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4425048828125 × 212)
    floor (0.4425048828125 × 4096)
    floor (1812.5)     		ty = 1812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2388 / 1812 ti = "12/2388/1812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2388/1812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2388 ÷ 212
    2388 ÷ 4096     		x = 0.5830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1812 ÷ 212
    1812 ÷ 4096     		y = 0.4423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    0.115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.362019465930664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52155347} λ = 0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362019465930664))-π/2
    2×atan(1.43622689918148)-π/2
    2×0.962578905944964-π/2
    1.92515781188993-1.57079632675     		φ = 0.35436149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35436149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.303418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2388 KachelY 1812 0.52155347 0.35436149 29.882813 20.303418
    Oben rechts KachelX + 1 2389 KachelY 1812 0.52308745 0.35436149 29.970703 20.303418
    Unten links KachelX 2388 KachelY + 1 1813 0.52155347 0.35292243 29.882813 20.220966
    Unten rechts KachelX + 1 2389 KachelY + 1 1813 0.52308745 0.35292243 29.970703 20.220966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35436149-0.35292243) × R
    0.00143905999999999 × 6371000     		dl = 9168.25125999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35436149-0.35292243) × R
    0.00143905999999999 × 6371000     		dr = 9168.25125999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52155347-0.52308745) × cos(0.35436149) × R
    0.00153398000000005 × 0.93786823759148 × 6371000     		do = 9165.77369979006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52155347-0.52308745) × cos(0.35292243) × R
    0.00153398000000005 × 0.93836660803527 × 6371000     		du = 9170.64426744909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35436149)-sin(0.35292243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93786823759148-0.93836660803527)×R²
    abs(0.52308745-0.52155347)×0.000498370443790308×R²
    0.00153398000000005×0.000498370443790308×6371000²
    0.00153398000000005×0.000498370443790308×40589641000000     		ar = 84056458.0720123m²