Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2388 / 1371
↖ ↑ ↗
← N 81.637345°
W127.529297°		 ← 355.34 m → N 81.637345°
W127.507324°		 →
↑
355.44 m
↓
↑
355.44 m
↓
N 81.634149°
W127.529297°		 ← 355.47 m →
126 324 m²		 N 81.634149°
W127.507324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145782470703125 y=0.083709716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145782470703125 × 214)
    floor (0.145782470703125 × 16384)
    floor (2388.5)     		tx = 2388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.083709716796875 × 214)
    floor (0.083709716796875 × 16384)
    floor (1371.5)     		ty = 1371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2388 / 1371 ti = "14/2388/1371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2388/1371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2388 ÷ 214
    2388 ÷ 16384     		x = 0.145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1371 ÷ 214
    1371 ÷ 16384     		y = 0.08367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.70849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22580612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08367919921875 × 2 - 1) × π
    0.8326416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61582073846722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22580612} λ = -2.22580612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61582073846722))-π/2
    2×atan(13.6784381925726)-π/2
    2×1.49781839642908-π/2
    2.99563679285815-1.57079632675     		φ = 1.42484047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22580612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.529297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42484047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.637345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2388 KachelY 1371 -2.22580612 1.42484047 -127.529297 81.637345
    Oben rechts KachelX + 1 2389 KachelY 1371 -2.22542263 1.42484047 -127.507324 81.637345
    Unten links KachelX 2388 KachelY + 1 1372 -2.22580612 1.42478468 -127.529297 81.634149
    Unten rechts KachelX + 1 2389 KachelY + 1 1372 -2.22542263 1.42478468 -127.507324 81.634149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42484047-1.42478468) × R
    5.579e-05 × 6371000     		dl = 355.43809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42484047-1.42478468) × R
    5.579e-05 × 6371000     		dr = 355.43809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22580612--2.22542263) × cos(1.42484047) × R
    0.000383489999999931 × 0.145438189501586 × 6371000     		do = 355.336735621033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22580612--2.22542263) × cos(1.42478468) × R
    0.000383489999999931 × 0.145493386079104 × 6371000     		du = 355.471592715583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42484047)-sin(1.42478468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145438189501586-0.145493386079104)×R²
    abs(-2.22542263--2.22580612)×5.51965775180685e-05×R²
    0.000383489999999931×5.51965775180685e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.51965775180685e-05×40589641000000     		ar = 126324.177321829m²