Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23879 / 27561
↖ ↑ ↗
← N 27.483908°
W 48.828735°		 ← 541.85 m → N 27.483908°
W 48.823242°		 →
↑
541.92 m
↓
↑
541.92 m
↓
N 27.479035°
W 48.828735°		 ← 541.88 m →
293 647 m²		 N 27.479035°
W 48.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364372253417969 y=0.420555114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364372253417969 × 216)
    floor (0.364372253417969 × 65536)
    floor (23879.5)     		tx = 23879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420555114746094 × 216)
    floor (0.420555114746094 × 65536)
    floor (27561.5)     		ty = 27561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23879 / 27561 ti = "16/23879/27561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23879/27561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23879 ÷ 216
    23879 ÷ 65536     		x = 0.364364624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27561 ÷ 216
    27561 ÷ 65536     		y = 0.420547485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364364624023438 × 2 - 1) × π
    -0.271270751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85222220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420547485351562 × 2 - 1) × π
    0.158905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499214872643265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85222220} λ = -0.85222220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499214872643265))-π/2
    2×atan(1.64742732255038)-π/2
    2×1.02524050694675-π/2
    2.0504810138935-1.57079632675     		φ = 0.47968469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85222220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.828735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47968469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.483908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23879 KachelY 27561 -0.85222220 0.47968469 -48.828735 27.483908
    Oben rechts KachelX + 1 23880 KachelY 27561 -0.85212633 0.47968469 -48.823242 27.483908
    Unten links KachelX 23879 KachelY + 1 27562 -0.85222220 0.47959963 -48.828735 27.479035
    Unten rechts KachelX + 1 23880 KachelY + 1 27562 -0.85212633 0.47959963 -48.823242 27.479035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47968469-0.47959963) × R
    8.50600000000257e-05 × 6371000     		dl = 541.917260000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47968469-0.47959963) × R
    8.50600000000257e-05 × 6371000     		dr = 541.917260000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85222220--0.85212633) × cos(0.47968469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887140482276019 × 6371000     		do = 541.854556846082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85222220--0.85212633) × cos(0.47959963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887179734211928 × 6371000     		du = 541.878531448484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47968469)-sin(0.47959963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887140482276019-0.887179734211928)×R²
    abs(-0.85212633--0.85222220)×3.92519359089238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92519359089238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92519359089238e-05×40589641000000     		ar = 293646.833067143m²