Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23878 / 27513
↖ ↑ ↗
← N 27.717573°
W 48.834229°		 ← 540.76 m → N 27.717573°
W 48.828735°		 →
↑
540.71 m
↓
↑
540.71 m
↓
N 27.712710°
W 48.834229°		 ← 540.78 m →
292 397 m²		 N 27.712710°
W 48.828735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364356994628906 y=0.419822692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364356994628906 × 216)
    floor (0.364356994628906 × 65536)
    floor (23878.5)     		tx = 23878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419822692871094 × 216)
    floor (0.419822692871094 × 65536)
    floor (27513.5)     		ty = 27513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23878 / 27513 ti = "16/23878/27513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23878/27513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23878 ÷ 216
    23878 ÷ 65536     		x = 0.364349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27513 ÷ 216
    27513 ÷ 65536     		y = 0.419815063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.27130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85231808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419815063476562 × 2 - 1) × π
    0.160369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.50381681500679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85231808} λ = -0.85231808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50381681500679))-π/2
    2×atan(1.65502615943094)-π/2
    2×1.02727961987797-π/2
    2.05455923975594-1.57079632675     		φ = 0.48376291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85231808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.834229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48376291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.717573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23878 KachelY 27513 -0.85231808 0.48376291 -48.834229 27.717573
    Oben rechts KachelX + 1 23879 KachelY 27513 -0.85222220 0.48376291 -48.828735 27.717573
    Unten links KachelX 23878 KachelY + 1 27514 -0.85231808 0.48367804 -48.834229 27.712710
    Unten rechts KachelX + 1 23879 KachelY + 1 27514 -0.85222220 0.48367804 -48.828735 27.712710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48376291-0.48367804) × R
    8.48700000000147e-05 × 6371000     		dl = 540.706770000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48376291-0.48367804) × R
    8.48700000000147e-05 × 6371000     		dr = 540.706770000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85231808--0.85222220) × cos(0.48376291) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.885251013711313 × 6371000     		do = 540.756891896701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85231808--0.85222220) × cos(0.48367804) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.885290484712644 × 6371000     		du = 540.781002816281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48376291)-sin(0.48367804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885251013711313-0.885290484712644)×R²
    abs(-0.85222220--0.85231808)×3.94710013310595e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.94710013310595e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.94710013310595e-05×40589641000000     		ar = 292397.431016982m²