Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23878 / 27450
↖ ↑ ↗
← N 28.023500°
W 48.834229°		 ← 539.23 m → N 28.023500°
W 48.828735°		 →
↑
539.18 m
↓
↑
539.18 m
↓
N 28.018651°
W 48.834229°		 ← 539.26 m →
290 749 m²		 N 28.018651°
W 48.828735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364356994628906 y=0.418861389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364356994628906 × 216)
    floor (0.364356994628906 × 65536)
    floor (23878.5)     		tx = 23878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418861389160156 × 216)
    floor (0.418861389160156 × 65536)
    floor (27450.5)     		ty = 27450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23878 / 27450 ti = "16/23878/27450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23878/27450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23878 ÷ 216
    23878 ÷ 65536     		x = 0.364349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27450 ÷ 216
    27450 ÷ 65536     		y = 0.418853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.27130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85231808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418853759765625 × 2 - 1) × π
    0.16229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.509856864358917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85231808} λ = -0.85231808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509856864358917))-π/2
    2×atan(1.66505284948138)-π/2
    2×1.02994933528392-π/2
    2.05989867056783-1.57079632675     		φ = 0.48910234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85231808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.834229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48910234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.023500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23878 KachelY 27450 -0.85231808 0.48910234 -48.834229 28.023500
    Oben rechts KachelX + 1 23879 KachelY 27450 -0.85222220 0.48910234 -48.828735 28.023500
    Unten links KachelX 23878 KachelY + 1 27451 -0.85231808 0.48901771 -48.834229 28.018651
    Unten rechts KachelX + 1 23879 KachelY + 1 27451 -0.85222220 0.48901771 -48.828735 28.018651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48910234-0.48901771) × R
    8.463000000003e-05 × 6371000     		dl = 539.177730000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48910234-0.48901771) × R
    8.463000000003e-05 × 6371000     		dr = 539.177730000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85231808--0.85222220) × cos(0.48910234) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.882754965099155 × 6371000     		do = 539.232176907813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85231808--0.85222220) × cos(0.48901771) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.88279472396082 × 6371000     		du = 539.256463667305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48910234)-sin(0.48901771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882754965099155-0.88279472396082)×R²
    abs(-0.85222220--0.85231808)×3.97588616656286e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.97588616656286e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.97588616656286e-05×40589641000000     		ar = 290748.528701691m²