Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23871 / 27453
↖ ↑ ↗
← N 28.008952°
W 48.872681°		 ← 539.25 m → N 28.008952°
W 48.867188°		 →
↑
539.31 m
↓
↑
539.31 m
↓
N 28.004102°
W 48.872681°		 ← 539.27 m →
290 826 m²		 N 28.004102°
W 48.867188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364250183105469 y=0.418907165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364250183105469 × 216)
    floor (0.364250183105469 × 65536)
    floor (23871.5)     		tx = 23871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418907165527344 × 216)
    floor (0.418907165527344 × 65536)
    floor (27453.5)     		ty = 27453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23871 / 27453 ti = "16/23871/27453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23871/27453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23871 ÷ 216
    23871 ÷ 65536     		x = 0.364242553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27453 ÷ 216
    27453 ÷ 65536     		y = 0.418899536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364242553710938 × 2 - 1) × π
    -0.271514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85298919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418899536132812 × 2 - 1) × π
    0.162200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.509569242961197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85298919} λ = -0.85298919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509569242961197))-π/2
    2×atan(1.66457401351857)-π/2
    2×1.02982237709908-π/2
    2.05964475419816-1.57079632675     		φ = 0.48884843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85298919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.872681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48884843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.008952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23871 KachelY 27453 -0.85298919 0.48884843 -48.872681 28.008952
    Oben rechts KachelX + 1 23872 KachelY 27453 -0.85289332 0.48884843 -48.867188 28.008952
    Unten links KachelX 23871 KachelY + 1 27454 -0.85298919 0.48876378 -48.872681 28.004102
    Unten rechts KachelX + 1 23872 KachelY + 1 27454 -0.85289332 0.48876378 -48.867188 28.004102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48884843-0.48876378) × R
    8.46500000000194e-05 × 6371000     		dl = 539.305150000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48884843-0.48876378) × R
    8.46500000000194e-05 × 6371000     		dr = 539.305150000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85298919--0.85289332) × cos(0.48884843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882874232107702 × 6371000     		do = 539.248783419514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85298919--0.85289332) × cos(0.48876378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88291398138936 × 6371000     		du = 539.273061794617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48884843)-sin(0.48876378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882874232107702-0.88291398138936)×R²
    abs(-0.85289332--0.85298919)×3.97492816579526e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97492816579526e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97492816579526e-05×40589641000000     		ar = 290826.192929356m²