Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23870 / 27566
↖ ↑ ↗
← N 27.459539°
W 48.878174°		 ← 542.03 m → N 27.459539°
W 48.872681°		 →
↑
541.98 m
↓
↑
541.98 m
↓
N 27.454665°
W 48.878174°		 ← 542.05 m →
293 777 m²		 N 27.454665°
W 48.872681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364234924316406 y=0.420631408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364234924316406 × 216)
    floor (0.364234924316406 × 65536)
    floor (23870.5)     		tx = 23870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420631408691406 × 216)
    floor (0.420631408691406 × 65536)
    floor (27566.5)     		ty = 27566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23870 / 27566 ti = "16/23870/27566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23870/27566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23870 ÷ 216
    23870 ÷ 65536     		x = 0.364227294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27566 ÷ 216
    27566 ÷ 65536     		y = 0.420623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.27154541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85308507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420623779296875 × 2 - 1) × π
    0.15875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.498735503647064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85308507} λ = -0.85308507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498735503647064))-π/2
    2×atan(1.6466377862232)-π/2
    2×1.02502784960953-π/2
    2.05005569921906-1.57079632675     		φ = 0.47925937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85308507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.878174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47925937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.459539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23870 KachelY 27566 -0.85308507 0.47925937 -48.878174 27.459539
    Oben rechts KachelX + 1 23871 KachelY 27566 -0.85298919 0.47925937 -48.872681 27.459539
    Unten links KachelX 23870 KachelY + 1 27567 -0.85308507 0.47917430 -48.878174 27.454665
    Unten rechts KachelX + 1 23871 KachelY + 1 27567 -0.85298919 0.47917430 -48.872681 27.454665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47925937-0.47917430) × R
    8.50700000000204e-05 × 6371000     		dl = 541.98097000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47925937-0.47917430) × R
    8.50700000000204e-05 × 6371000     		dr = 541.98097000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85308507--0.85298919) × cos(0.47925937) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.887336686985907 × 6371000     		do = 542.03092850391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85308507--0.85298919) × cos(0.47917430) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.887375911433303 × 6371000     		du = 542.054888815654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47925937)-sin(0.47917430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887336686985907-0.887375911433303)×R²
    abs(-0.85298919--0.85308507)×3.92244473966796e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.92244473966796e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.92244473966796e-05×40589641000000     		ar = 293776.941594252m²