Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23870 / 27454
↖ ↑ ↗
← N 28.004102°
W 48.878174°		 ← 539.33 m → N 28.004102°
W 48.872681°		 →
↑
539.31 m
↓
↑
539.31 m
↓
N 27.999252°
W 48.878174°		 ← 539.35 m →
290 870 m²		 N 27.999252°
W 48.872681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364234924316406 y=0.418922424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364234924316406 × 216)
    floor (0.364234924316406 × 65536)
    floor (23870.5)     		tx = 23870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418922424316406 × 216)
    floor (0.418922424316406 × 65536)
    floor (27454.5)     		ty = 27454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23870 / 27454 ti = "16/23870/27454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23870/27454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23870 ÷ 216
    23870 ÷ 65536     		x = 0.364227294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27454 ÷ 216
    27454 ÷ 65536     		y = 0.418914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.27154541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85308507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418914794921875 × 2 - 1) × π
    0.16217041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.509473369161957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85308507} λ = -0.85308507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509473369161957))-π/2
    2×atan(1.66441443213374)-π/2
    2×1.02978005389287-π/2
    2.05956010778574-1.57079632675     		φ = 0.48876378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85308507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.878174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48876378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.004102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23870 KachelY 27454 -0.85308507 0.48876378 -48.878174 28.004102
    Oben rechts KachelX + 1 23871 KachelY 27454 -0.85298919 0.48876378 -48.872681 28.004102
    Unten links KachelX 23870 KachelY + 1 27455 -0.85308507 0.48867913 -48.878174 27.999252
    Unten rechts KachelX + 1 23871 KachelY + 1 27455 -0.85298919 0.48867913 -48.872681 27.999252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48876378-0.48867913) × R
    8.46499999999639e-05 × 6371000     		dl = 539.30514999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48876378-0.48867913) × R
    8.46499999999639e-05 × 6371000     		dr = 539.30514999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85308507--0.85298919) × cos(0.48876378) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.88291398138936 × 6371000     		do = 539.329312244654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85308507--0.85298919) × cos(0.48867913) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.88295372434439 × 6371000     		du = 539.353589287553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48876378)-sin(0.48867913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88291398138936-0.88295372434439)×R²
    abs(-0.85298919--0.85308507)×3.97429550296202e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.97429550296202e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.97429550296202e-05×40589641000000     		ar = 290869.62218017m²