Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2387 / 1811
↖ ↑ ↗
← N 20.385825°
E 29.794922°		 ← 9 160.89 m → N 20.385825°
E 29.882813°		 →
↑
9 163.28 m
↓
↑
9 163.28 m
↓
N 20.303418°
E 29.794922°		 ← 9 165.77 m →
83 966 193 m²		 N 20.303418°
E 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5828857421875 y=0.4422607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5828857421875 × 212)
    floor (0.5828857421875 × 4096)
    floor (2387.5)     		tx = 2387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4422607421875 × 212)
    floor (0.4422607421875 × 4096)
    floor (1811.5)     		ty = 1811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2387 / 1811 ti = "12/2387/1811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2387/1811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2387 ÷ 212
    2387 ÷ 4096     		x = 0.582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1811 ÷ 212
    1811 ÷ 4096     		y = 0.442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442138671875 × 2 - 1) × π
    0.11572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.363553446718506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52001949} λ = 0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363553446718506))-π/2
    2×atan(1.43843173430682)-π/2
    2×0.963298050217746-π/2
    1.92659610043549-1.57079632675     		φ = 0.35579977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35579977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.385825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2387 KachelY 1811 0.52001949 0.35579977 29.794922 20.385825
    Oben rechts KachelX + 1 2388 KachelY 1811 0.52155347 0.35579977 29.882813 20.385825
    Unten links KachelX 2387 KachelY + 1 1812 0.52001949 0.35436149 29.794922 20.303418
    Unten rechts KachelX + 1 2388 KachelY + 1 1812 0.52155347 0.35436149 29.882813 20.303418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35579977-0.35436149) × R
    0.00143828000000001 × 6371000     		dl = 9163.28188000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35579977-0.35436149) × R
    0.00143828000000001 × 6371000     		dr = 9163.28188000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52001949-0.52155347) × cos(0.35579977) × R
    0.00153397999999993 × 0.937368196628222 × 6371000     		do = 9160.88680616602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52001949-0.52155347) × cos(0.35436149) × R
    0.00153397999999993 × 0.93786823759148 × 6371000     		du = 9165.77369978939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35579977)-sin(0.35436149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937368196628222-0.93786823759148)×R²
    abs(0.52155347-0.52001949)×0.000500040963257953×R²
    0.00153397999999993×0.000500040963257953×6371000²
    0.00153397999999993×0.000500040963257953×40589641000000     		ar = 83966192.5422864m²