Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23868 / 27452
↖ ↑ ↗
← N 28.013801°
W 48.889160°		 ← 539.22 m → N 28.013801°
W 48.883667°		 →
↑
539.24 m
↓
↑
539.24 m
↓
N 28.008952°
W 48.889160°		 ← 539.25 m →
290 779 m²		 N 28.008952°
W 48.883667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364204406738281 y=0.418891906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364204406738281 × 216)
    floor (0.364204406738281 × 65536)
    floor (23868.5)     		tx = 23868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418891906738281 × 216)
    floor (0.418891906738281 × 65536)
    floor (27452.5)     		ty = 27452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23868 / 27452 ti = "16/23868/27452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23868/27452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23868 ÷ 216
    23868 ÷ 65536     		x = 0.36419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27452 ÷ 216
    27452 ÷ 65536     		y = 0.41888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.2716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85327681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41888427734375 × 2 - 1) × π
    0.1622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.509665116760437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85327681} λ = -0.85327681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509665116760437))-π/2
    2×atan(1.66473361020381)-π/2
    2×1.0298646983998-π/2
    2.0597293967996-1.57079632675     		φ = 0.48893307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85327681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.889160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48893307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.013801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23868 KachelY 27452 -0.85327681 0.48893307 -48.889160 28.013801
    Oben rechts KachelX + 1 23869 KachelY 27452 -0.85318094 0.48893307 -48.883667 28.013801
    Unten links KachelX 23868 KachelY + 1 27453 -0.85327681 0.48884843 -48.889160 28.008952
    Unten rechts KachelX + 1 23869 KachelY + 1 27453 -0.85318094 0.48884843 -48.883667 28.008952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48893307-0.48884843) × R
    8.46400000000247e-05 × 6371000     		dl = 539.241440000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48893307-0.48884843) × R
    8.46400000000247e-05 × 6371000     		dr = 539.241440000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85327681--0.85318094) × cos(0.48893307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882834481196543 × 6371000     		do = 539.224504049132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85327681--0.85318094) × cos(0.48884843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882874232107702 × 6371000     		du = 539.248783419514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48893307)-sin(0.48884843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882834481196543-0.882874232107702)×R²
    abs(-0.85318094--0.85327681)×3.97509111589311e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97509111589311e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97509111589311e-05×40589641000000     		ar = 290778.744441834m²