Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23867 / 30279
↖ ↑ ↗
← N 13.544541°
W 48.894653°		 ← 593.86 m → N 13.544541°
W 48.889160°		 →
↑
593.84 m
↓
↑
593.84 m
↓
N 13.539201°
W 48.894653°		 ← 593.88 m →
352 664 m²		 N 13.539201°
W 48.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364189147949219 y=0.462028503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364189147949219 × 216)
    floor (0.364189147949219 × 65536)
    floor (23867.5)     		tx = 23867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462028503417969 × 216)
    floor (0.462028503417969 × 65536)
    floor (30279.5)     		ty = 30279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23867 / 30279 ti = "16/23867/30279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23867/30279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23867 ÷ 216
    23867 ÷ 65536     		x = 0.364181518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30279 ÷ 216
    30279 ÷ 65536     		y = 0.462020874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364181518554688 × 2 - 1) × π
    -0.271636962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85337269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462020874023438 × 2 - 1) × π
    0.075958251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.23862988630864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85337269} λ = -0.85337269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23862988630864))-π/2
    2×atan(1.26950858711244)-π/2
    2×0.903596582483511-π/2
    1.80719316496702-1.57079632675     		φ = 0.23639684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85337269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.894653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23639684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.544541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23867 KachelY 30279 -0.85337269 0.23639684 -48.894653 13.544541
    Oben rechts KachelX + 1 23868 KachelY 30279 -0.85327681 0.23639684 -48.889160 13.544541
    Unten links KachelX 23867 KachelY + 1 30280 -0.85337269 0.23630363 -48.894653 13.539201
    Unten rechts KachelX + 1 23868 KachelY + 1 30280 -0.85327681 0.23630363 -48.889160 13.539201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23639684-0.23630363) × R
    9.32100000000102e-05 × 6371000     		dl = 593.840910000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23639684-0.23630363) × R
    9.32100000000102e-05 × 6371000     		dr = 593.840910000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85337269--0.85327681) × cos(0.23639684) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.972188148276175 × 6371000     		do = 593.862569213259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85337269--0.85327681) × cos(0.23630363) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.972209973947211 × 6371000     		du = 593.875901456714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23639684)-sin(0.23630363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972188148276175-0.972209973947211)×R²
    abs(-0.85327681--0.85337269)×2.18256710362574e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.18256710362574e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.18256710362574e-05×40589641000000     		ar = 352663.847387618m²