Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23863 / 27573
↖ ↑ ↗
← N 27.425414°
W 48.916626°		 ← 542.14 m → N 27.425414°
W 48.911133°		 →
↑
542.17 m
↓
↑
542.17 m
↓
N 27.420538°
W 48.916626°		 ← 542.17 m →
293 941 m²		 N 27.420538°
W 48.911133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364128112792969 y=0.420738220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364128112792969 × 216)
    floor (0.364128112792969 × 65536)
    floor (23863.5)     		tx = 23863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420738220214844 × 216)
    floor (0.420738220214844 × 65536)
    floor (27573.5)     		ty = 27573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23863 / 27573 ti = "16/23863/27573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23863/27573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23863 ÷ 216
    23863 ÷ 65536     		x = 0.364120483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27573 ÷ 216
    27573 ÷ 65536     		y = 0.420730590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364120483398438 × 2 - 1) × π
    -0.271759033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85375618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420730590820312 × 2 - 1) × π
    0.158538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.498064387052383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85375618} λ = -0.85375618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498064387052383))-π/2
    2×atan(1.64553307101725)-π/2
    2×1.02473005036256-π/2
    2.04946010072511-1.57079632675     		φ = 0.47866377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85375618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.916626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47866377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.425414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23863 KachelY 27573 -0.85375618 0.47866377 -48.916626 27.425414
    Oben rechts KachelX + 1 23864 KachelY 27573 -0.85366031 0.47866377 -48.911133 27.425414
    Unten links KachelX 23863 KachelY + 1 27574 -0.85375618 0.47857867 -48.916626 27.420538
    Unten rechts KachelX + 1 23864 KachelY + 1 27574 -0.85366031 0.47857867 -48.911133 27.420538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47866377-0.47857867) × R
    8.51000000000046e-05 × 6371000     		dl = 542.172100000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47866377-0.47857867) × R
    8.51000000000046e-05 × 6371000     		dr = 542.172100000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85375618--0.85366031) × cos(0.47866377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887611173914089 × 6371000     		do = 542.142049542057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85375618--0.85366031) × cos(0.47857867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887650367209776 × 6371000     		du = 542.165988327728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47866377)-sin(0.47857867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887611173914089-0.887650367209776)×R²
    abs(-0.85366031--0.85375618)×3.91932956868013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91932956868013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91932956868013e-05×40589641000000     		ar = 293940.783146841m²