Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23860 / 27586
↖ ↑ ↗
← N 27.362010°
W 48.933105°		 ← 542.45 m → N 27.362010°
W 48.927612°		 →
↑
542.49 m
↓
↑
542.49 m
↓
N 27.357132°
W 48.933105°		 ← 542.48 m →
294 282 m²		 N 27.357132°
W 48.927612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364082336425781 y=0.420936584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364082336425781 × 216)
    floor (0.364082336425781 × 65536)
    floor (23860.5)     		tx = 23860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420936584472656 × 216)
    floor (0.420936584472656 × 65536)
    floor (27586.5)     		ty = 27586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23860 / 27586 ti = "16/23860/27586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23860/27586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23860 ÷ 216
    23860 ÷ 65536     		x = 0.36407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27586 ÷ 216
    27586 ÷ 65536     		y = 0.420928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.2718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85404380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420928955078125 × 2 - 1) × π
    0.15814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.496818027662262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85404380} λ = -0.85404380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496818027662262))-π/2
    2×atan(1.6434834229868)-π/2
    2×1.02417675041597-π/2
    2.04835350083195-1.57079632675     		φ = 0.47755717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85404380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.933105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47755717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.362010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23860 KachelY 27586 -0.85404380 0.47755717 -48.933105 27.362010
    Oben rechts KachelX + 1 23861 KachelY 27586 -0.85394793 0.47755717 -48.927612 27.362010
    Unten links KachelX 23860 KachelY + 1 27587 -0.85404380 0.47747202 -48.933105 27.357132
    Unten rechts KachelX + 1 23861 KachelY + 1 27587 -0.85394793 0.47747202 -48.927612 27.357132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47755717-0.47747202) × R
    8.51499999999783e-05 × 6371000     		dl = 542.490649999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47755717-0.47747202) × R
    8.51499999999783e-05 × 6371000     		dr = 542.490649999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85404380--0.85394793) × cos(0.47755717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888120323147151 × 6371000     		do = 542.453031666716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85404380--0.85394793) × cos(0.47747202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888159455805965 × 6371000     		du = 542.476933416127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47755717)-sin(0.47747202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888120323147151-0.888159455805965)×R²
    abs(-0.85394793--0.85404380)×3.91326588141672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91326588141672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91326588141672e-05×40589641000000     		ar = 294282.18115891m²