Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23860 / 27476
↖ ↑ ↗
← N 27.897349°
W 48.933105°		 ← 539.81 m → N 27.897349°
W 48.927612°		 →
↑
539.88 m
↓
↑
539.88 m
↓
N 27.892494°
W 48.933105°		 ← 539.83 m →
291 436 m²		 N 27.892494°
W 48.927612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364082336425781 y=0.419258117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364082336425781 × 216)
    floor (0.364082336425781 × 65536)
    floor (23860.5)     		tx = 23860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419258117675781 × 216)
    floor (0.419258117675781 × 65536)
    floor (27476.5)     		ty = 27476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23860 / 27476 ti = "16/23860/27476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23860/27476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23860 ÷ 216
    23860 ÷ 65536     		x = 0.36407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27476 ÷ 216
    27476 ÷ 65536     		y = 0.41925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.2718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85404380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41925048828125 × 2 - 1) × π
    0.1614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507364145578674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85404380} λ = -0.85404380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507364145578674))-π/2
    2×atan(1.66090750970301)-π/2
    2×1.02884846170939-π/2
    2.05769692341877-1.57079632675     		φ = 0.48690060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85404380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.933105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48690060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.897349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23860 KachelY 27476 -0.85404380 0.48690060 -48.933105 27.897349
    Oben rechts KachelX + 1 23861 KachelY 27476 -0.85394793 0.48690060 -48.927612 27.897349
    Unten links KachelX 23860 KachelY + 1 27477 -0.85404380 0.48681586 -48.933105 27.892494
    Unten rechts KachelX + 1 23861 KachelY + 1 27477 -0.85394793 0.48681586 -48.927612 27.892494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48690060-0.48681586) × R
    8.47400000000276e-05 × 6371000     		dl = 539.878540000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48690060-0.48681586) × R
    8.47400000000276e-05 × 6371000     		dr = 539.878540000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85404380--0.85394793) × cos(0.48690060) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883787276187528 × 6371000     		do = 539.806459576943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85404380--0.85394793) × cos(0.48681586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883826921922196 × 6371000     		du = 539.83067470681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48690060)-sin(0.48681586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883787276187528-0.883826921922196)×R²
    abs(-0.85394793--0.85404380)×3.96457346677481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96457346677481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96457346677481e-05×40589641000000     		ar = 291436.460067932m²