Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2386 / 1842
↖ ↑ ↗
← N 17.811456°
E 29.707031°		 ← 9 304.55 m → N 17.811456°
E 29.794922°		 →
↑
9 306.69 m
↓
↑
9 306.69 m
↓
N 17.727759°
E 29.707031°		 ← 9 308.91 m →
86 614 883 m²		 N 17.727759°
E 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5826416015625 y=0.4498291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5826416015625 × 212)
    floor (0.5826416015625 × 4096)
    floor (2386.5)     		tx = 2386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4498291015625 × 212)
    floor (0.4498291015625 × 4096)
    floor (1842.5)     		ty = 1842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2386 / 1842 ti = "12/2386/1842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2386/1842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2386 ÷ 212
    2386 ÷ 4096     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1842 ÷ 212
    1842 ÷ 4096     		y = 0.44970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    0.1005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.31600004229541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31600004229541))-π/2
    2×atan(1.37163031363971)-π/2
    2×0.940832440053069-π/2
    1.88166488010614-1.57079632675     		φ = 0.31086855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31086855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.811456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2386 KachelY 1842 0.51848551 0.31086855 29.707031 17.811456
    Oben rechts KachelX + 1 2387 KachelY 1842 0.52001949 0.31086855 29.794922 17.811456
    Unten links KachelX 2386 KachelY + 1 1843 0.51848551 0.30940776 29.707031 17.727759
    Unten rechts KachelX + 1 2387 KachelY + 1 1843 0.52001949 0.30940776 29.794922 17.727759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31086855-0.30940776) × R
    0.00146079000000005 × 6371000     		dl = 9306.69309000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31086855-0.30940776) × R
    0.00146079000000005 × 6371000     		dr = 9306.69309000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.52001949) × cos(0.31086855) × R
    0.00153398000000005 × 0.952068252030094 × 6371000     		do = 9304.55025033445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.52001949) × cos(0.30940776) × R
    0.00153398000000005 × 0.952514070787353 × 6371000     		du = 9308.90723106625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31086855)-sin(0.30940776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952068252030094-0.952514070787353)×R²
    abs(0.52001949-0.51848551)×0.000445818757258576×R²
    0.00153398000000005×0.000445818757258576×6371000²
    0.00153398000000005×0.000445818757258576×40589641000000     		ar = 86614883.4639302m²