Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23857 / 30257
↖ ↑ ↗
← N 13.662000°
W 48.949585°		 ← 593.57 m → N 13.662000°
W 48.944092°		 →
↑
593.52 m
↓
↑
593.52 m
↓
N 13.656663°
W 48.949585°		 ← 593.58 m →
352 300 m²		 N 13.656663°
W 48.944092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364036560058594 y=0.461692810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364036560058594 × 216)
    floor (0.364036560058594 × 65536)
    floor (23857.5)     		tx = 23857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461692810058594 × 216)
    floor (0.461692810058594 × 65536)
    floor (30257.5)     		ty = 30257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23857 / 30257 ti = "16/23857/30257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23857/30257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23857 ÷ 216
    23857 ÷ 65536     		x = 0.364028930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30257 ÷ 216
    30257 ÷ 65536     		y = 0.461685180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364028930664062 × 2 - 1) × π
    -0.271942138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85433143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461685180664062 × 2 - 1) × π
    0.076629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.240739109891922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85433143} λ = -0.85433143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240739109891922))-π/2
    2×atan(1.27218909046024)-π/2
    2×0.904621609656888-π/2
    1.80924321931378-1.57079632675     		φ = 0.23844689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85433143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.949585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23844689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.662000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23857 KachelY 30257 -0.85433143 0.23844689 -48.949585 13.662000
    Oben rechts KachelX + 1 23858 KachelY 30257 -0.85423555 0.23844689 -48.944092 13.662000
    Unten links KachelX 23857 KachelY + 1 30258 -0.85433143 0.23835373 -48.949585 13.656663
    Unten rechts KachelX + 1 23858 KachelY + 1 30258 -0.85423555 0.23835373 -48.944092 13.656663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23844689-0.23835373) × R
    9.3159999999981e-05 × 6371000     		dl = 593.522359999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23844689-0.23835373) × R
    9.3159999999981e-05 × 6371000     		dr = 593.522359999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85433143--0.85423555) × cos(0.23844689) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.971705981523202 × 6371000     		do = 593.568036938599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85433143--0.85423555) × cos(0.23835373) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.971727981115899 × 6371000     		du = 593.581475422357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23844689)-sin(0.23835373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971705981523202-0.971727981115899)×R²
    abs(-0.85423555--0.85433143)×2.19995926965533e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.19995926965533e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.19995926965533e-05×40589641000000     		ar = 352299.890379353m²