Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23856 / 27472
↖ ↑ ↗
← N 27.916766°
W 48.955078°		 ← 539.71 m → N 27.916766°
W 48.949585°		 →
↑
539.69 m
↓
↑
539.69 m
↓
N 27.911913°
W 48.955078°		 ← 539.73 m →
291 281 m²		 N 27.911913°
W 48.949585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364021301269531 y=0.419197082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364021301269531 × 216)
    floor (0.364021301269531 × 65536)
    floor (23856.5)     		tx = 23856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419197082519531 × 216)
    floor (0.419197082519531 × 65536)
    floor (27472.5)     		ty = 27472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23856 / 27472 ti = "16/23856/27472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23856/27472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23856 ÷ 216
    23856 ÷ 65536     		x = 0.364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27472 ÷ 216
    27472 ÷ 65536     		y = 0.419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.27197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85442730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507747640775635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85442730} λ = -0.85442730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507747640775635))-π/2
    2×atan(1.66154458190484)-π/2
    2×1.02901791059139-π/2
    2.05803582118279-1.57079632675     		φ = 0.48723949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85442730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48723949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.916766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23856 KachelY 27472 -0.85442730 0.48723949 -48.955078 27.916766
    Oben rechts KachelX + 1 23857 KachelY 27472 -0.85433143 0.48723949 -48.949585 27.916766
    Unten links KachelX 23856 KachelY + 1 27473 -0.85442730 0.48715478 -48.955078 27.911913
    Unten rechts KachelX + 1 23857 KachelY + 1 27473 -0.85433143 0.48715478 -48.949585 27.911913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48723949-0.48715478) × R
    8.47099999999879e-05 × 6371000     		dl = 539.687409999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48723949-0.48715478) × R
    8.47099999999879e-05 × 6371000     		dr = 539.687409999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85442730--0.85433143) × cos(0.48723949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883628662561301 × 6371000     		do = 539.709580313888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85442730--0.85433143) × cos(0.48715478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88366831963105 × 6371000     		du = 539.733802367085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48723949)-sin(0.48715478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883628662561301-0.88366831963105)×R²
    abs(-0.85433143--0.85442730)×3.96570697489551e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96570697489551e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96570697489551e-05×40589641000000     		ar = 291281.001894559m²