Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23856 / 27470
↖ ↑ ↗
← N 27.926474°
W 48.955078°		 ← 539.66 m → N 27.926474°
W 48.949585°		 →
↑
539.69 m
↓
↑
539.69 m
↓
N 27.921620°
W 48.955078°		 ← 539.69 m →
291 255 m²		 N 27.921620°
W 48.949585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364021301269531 y=0.419166564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364021301269531 × 216)
    floor (0.364021301269531 × 65536)
    floor (23856.5)     		tx = 23856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419166564941406 × 216)
    floor (0.419166564941406 × 65536)
    floor (27470.5)     		ty = 27470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23856 / 27470 ti = "16/23856/27470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23856/27470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23856 ÷ 216
    23856 ÷ 65536     		x = 0.364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27470 ÷ 216
    27470 ÷ 65536     		y = 0.419158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.27197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85442730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419158935546875 × 2 - 1) × π
    0.16168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.507939388374115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85442730} λ = -0.85442730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507939388374115))-π/2
    2×atan(1.66186320963526)-π/2
    2×1.02910262362522-π/2
    2.05820524725044-1.57079632675     		φ = 0.48740892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85442730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48740892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.926474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23856 KachelY 27470 -0.85442730 0.48740892 -48.955078 27.926474
    Oben rechts KachelX + 1 23857 KachelY 27470 -0.85433143 0.48740892 -48.949585 27.926474
    Unten links KachelX 23856 KachelY + 1 27471 -0.85442730 0.48732421 -48.955078 27.921620
    Unten rechts KachelX + 1 23857 KachelY + 1 27471 -0.85433143 0.48732421 -48.949585 27.921620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48740892-0.48732421) × R
    8.47100000000434e-05 × 6371000     		dl = 539.687410000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48740892-0.48732421) × R
    8.47100000000434e-05 × 6371000     		dr = 539.687410000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85442730--0.85433143) × cos(0.48740892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883549324716522 × 6371000     		do = 539.661121728598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85442730--0.85433143) × cos(0.48732421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883588994468191 × 6371000     		du = 539.685351527757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48740892)-sin(0.48732421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883549324716522-0.883588994468191)×R²
    abs(-0.85433143--0.85442730)×3.96697516698019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96697516698019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96697516698019e-05×40589641000000     		ar = 291254.851496555m²