Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23855 / 27493
↖ ↑ ↗
← N 27.814786°
W 48.960571°		 ← 540.22 m → N 27.814786°
W 48.955078°		 →
↑
540.26 m
↓
↑
540.26 m
↓
N 27.809928°
W 48.960571°		 ← 540.24 m →
291 865 m²		 N 27.809928°
W 48.955078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364006042480469 y=0.419517517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364006042480469 × 216)
    floor (0.364006042480469 × 65536)
    floor (23855.5)     		tx = 23855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419517517089844 × 216)
    floor (0.419517517089844 × 65536)
    floor (27493.5)     		ty = 27493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23855 / 27493 ti = "16/23855/27493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23855/27493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23855 ÷ 216
    23855 ÷ 65536     		x = 0.363998413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27493 ÷ 216
    27493 ÷ 65536     		y = 0.419509887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363998413085938 × 2 - 1) × π
    -0.272003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85452317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419509887695312 × 2 - 1) × π
    0.160980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.505734290991592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85452317} λ = -0.85452317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505734290991592))-π/2
    2×atan(1.65820267682051)-π/2
    2×1.02812796489701-π/2
    2.05625592979402-1.57079632675     		φ = 0.48545960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85452317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.960571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48545960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.814786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23855 KachelY 27493 -0.85452317 0.48545960 -48.960571 27.814786
    Oben rechts KachelX + 1 23856 KachelY 27493 -0.85442730 0.48545960 -48.955078 27.814786
    Unten links KachelX 23855 KachelY + 1 27494 -0.85452317 0.48537480 -48.960571 27.809928
    Unten rechts KachelX + 1 23856 KachelY + 1 27494 -0.85442730 0.48537480 -48.955078 27.809928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48545960-0.48537480) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dl = 540.260799999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48545960-0.48537480) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dr = 540.260799999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85452317--0.85442730) × cos(0.48545960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884460586318171 × 6371000     		do = 540.217709170156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85452317--0.85442730) × cos(0.48537480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884500152082124 × 6371000     		du = 540.24187545489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48545960)-sin(0.48537480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884460586318171-0.884500152082124)×R²
    abs(-0.85442730--0.85452317)×3.95657639535862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95657639535862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95657639535862e-05×40589641000000     		ar = 291864.979953605m²