Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23854 / 27502
↖ ↑ ↗
← N 27.771051°
W 48.966065°		 ← 540.49 m → N 27.771051°
W 48.960571°		 →
↑
540.45 m
↓
↑
540.45 m
↓
N 27.766191°
W 48.966065°		 ← 540.52 m →
292 116 m²		 N 27.766191°
W 48.960571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363990783691406 y=0.419654846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363990783691406 × 216)
    floor (0.363990783691406 × 65536)
    floor (23854.5)     		tx = 23854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419654846191406 × 216)
    floor (0.419654846191406 × 65536)
    floor (27502.5)     		ty = 27502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23854 / 27502 ti = "16/23854/27502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23854/27502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23854 ÷ 216
    23854 ÷ 65536     		x = 0.363983154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27502 ÷ 216
    27502 ÷ 65536     		y = 0.419647216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.27203369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85461905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419647216796875 × 2 - 1) × π
    0.16070556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.504871426798431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85461905} λ = -0.85461905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504871426798431))-π/2
    2×atan(1.65677249022282)-π/2
    2×1.02774630342144-π/2
    2.05549260684288-1.57079632675     		φ = 0.48469628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85461905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.966065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48469628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.771051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23854 KachelY 27502 -0.85461905 0.48469628 -48.966065 27.771051
    Oben rechts KachelX + 1 23855 KachelY 27502 -0.85452317 0.48469628 -48.960571 27.771051
    Unten links KachelX 23854 KachelY + 1 27503 -0.85461905 0.48461145 -48.966065 27.766191
    Unten rechts KachelX + 1 23855 KachelY + 1 27503 -0.85452317 0.48461145 -48.960571 27.766191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48469628-0.48461145) × R
    8.48299999999802e-05 × 6371000     		dl = 540.451929999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48469628-0.48461145) × R
    8.48299999999802e-05 × 6371000     		dr = 540.451929999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85461905--0.85452317) × cos(0.48469628) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.884816505105492 × 6371000     		do = 540.491471672389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85461905--0.85452317) × cos(0.48461145) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.884856027581859 × 6371000     		du = 540.515614035571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48469628)-sin(0.48461145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884816505105492-0.884856027581859)×R²
    abs(-0.85452317--0.85461905)×3.95224763665158e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.95224763665158e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.95224763665158e-05×40589641000000     		ar = 292116.183082395m²