Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23854 / 27477
↖ ↑ ↗
← N 27.892494°
W 48.966065°		 ← 539.89 m → N 27.892494°
W 48.960571°		 →
↑
539.88 m
↓
↑
539.88 m
↓
N 27.887639°
W 48.966065°		 ← 539.91 m →
291 480 m²		 N 27.887639°
W 48.960571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363990783691406 y=0.419273376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363990783691406 × 216)
    floor (0.363990783691406 × 65536)
    floor (23854.5)     		tx = 23854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419273376464844 × 216)
    floor (0.419273376464844 × 65536)
    floor (27477.5)     		ty = 27477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23854 / 27477 ti = "16/23854/27477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23854/27477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23854 ÷ 216
    23854 ÷ 65536     		x = 0.363983154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27477 ÷ 216
    27477 ÷ 65536     		y = 0.419265747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.27203369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85461905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419265747070312 × 2 - 1) × π
    0.161468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507268271779434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85461905} λ = -0.85461905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507268271779434))-π/2
    2×atan(1.66074827982298)-π/2
    2×1.02880609473717-π/2
    2.05761218947434-1.57079632675     		φ = 0.48681586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85461905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.966065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48681586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.892494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23854 KachelY 27477 -0.85461905 0.48681586 -48.966065 27.892494
    Oben rechts KachelX + 1 23855 KachelY 27477 -0.85452317 0.48681586 -48.960571 27.892494
    Unten links KachelX 23854 KachelY + 1 27478 -0.85461905 0.48673112 -48.966065 27.887639
    Unten rechts KachelX + 1 23855 KachelY + 1 27478 -0.85452317 0.48673112 -48.960571 27.887639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48681586-0.48673112) × R
    8.47399999999721e-05 × 6371000     		dl = 539.878539999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48681586-0.48673112) × R
    8.47399999999721e-05 × 6371000     		dr = 539.878539999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85461905--0.85452317) × cos(0.48681586) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.883826921922196 × 6371000     		do = 539.886983320289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85461905--0.85452317) × cos(0.48673112) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.88386656131022 × 6371000     		du = 539.911197099129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48681586)-sin(0.48673112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883826921922196-0.88386656131022)×R²
    abs(-0.85452317--0.85461905)×3.9639388023649e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.9639388023649e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.9639388023649e-05×40589641000000     		ar = 291479.932744089m²