Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23850 / 27498
↖ ↑ ↗
← N 27.790491°
W 48.988037°		 ← 540.34 m → N 27.790491°
W 48.982544°		 →
↑
540.32 m
↓
↑
540.32 m
↓
N 27.785632°
W 48.988037°		 ← 540.36 m →
291 965 m²		 N 27.785632°
W 48.982544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363929748535156 y=0.419593811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363929748535156 × 216)
    floor (0.363929748535156 × 65536)
    floor (23850.5)     		tx = 23850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419593811035156 × 216)
    floor (0.419593811035156 × 65536)
    floor (27498.5)     		ty = 27498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23850 / 27498 ti = "16/23850/27498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23850/27498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23850 ÷ 216
    23850 ÷ 65536     		x = 0.363922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27498 ÷ 216
    27498 ÷ 65536     		y = 0.419586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363922119140625 × 2 - 1) × π
    -0.27215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85500254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419586181640625 × 2 - 1) × π
    0.16082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505254921995392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85500254} λ = -0.85500254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505254921995392))-π/2
    2×atan(1.65740797636042)-π/2
    2×1.02791594970101-π/2
    2.05583189940201-1.57079632675     		φ = 0.48503557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85500254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.988037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48503557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.790491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23850 KachelY 27498 -0.85500254 0.48503557 -48.988037 27.790491
    Oben rechts KachelX + 1 23851 KachelY 27498 -0.85490667 0.48503557 -48.982544 27.790491
    Unten links KachelX 23850 KachelY + 1 27499 -0.85500254 0.48495076 -48.988037 27.785632
    Unten rechts KachelX + 1 23851 KachelY + 1 27499 -0.85490667 0.48495076 -48.982544 27.785632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48503557-0.48495076) × R
    8.48100000000462e-05 × 6371000     		dl = 540.324510000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48503557-0.48495076) × R
    8.48100000000462e-05 × 6371000     		dr = 540.324510000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85500254--0.85490667) × cos(0.48503557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88465836551753 × 6371000     		do = 540.338510286285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85500254--0.85490667) × cos(0.48495076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884697904135657 × 6371000     		du = 540.36265999068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48503557)-sin(0.48495076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88465836551753-0.884697904135657)×R²
    abs(-0.85490667--0.85500254)×3.95386181268886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95386181268886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95386181268886e-05×40589641000000     		ar = 291964.665318278m²