Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2385 / 1874
↖ ↑ ↗
← N 15.114553°
E 29.619141°		 ← 9 434.90 m → N 15.114553°
E 29.707031°		 →
↑
9 436.79 m
↓
↑
9 436.79 m
↓
N 15.029686°
E 29.619141°		 ← 9 438.67 m →
89 052 976 m²		 N 15.029686°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5823974609375 y=0.4576416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5823974609375 × 212)
    floor (0.5823974609375 × 4096)
    floor (2385.5)     		tx = 2385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4576416015625 × 212)
    floor (0.4576416015625 × 4096)
    floor (1874.5)     		ty = 1874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2385 / 1874 ti = "12/2385/1874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2385/1874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2385 ÷ 212
    2385 ÷ 4096     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1874 ÷ 212
    1874 ÷ 4096     		y = 0.45751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    0.0849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266912657084473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266912657084473))-π/2
    2×atan(1.30592637793188)-π/2
    2×0.917297519684861-π/2
    1.83459503936972-1.57079632675     		φ = 0.26379871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26379871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.114553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2385 KachelY 1874 0.51695153 0.26379871 29.619141 15.114553
    Oben rechts KachelX + 1 2386 KachelY 1874 0.51848551 0.26379871 29.707031 15.114553
    Unten links KachelX 2385 KachelY + 1 1875 0.51695153 0.26231750 29.619141 15.029686
    Unten rechts KachelX + 1 2386 KachelY + 1 1875 0.51848551 0.26231750 29.707031 15.029686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26379871-0.26231750) × R
    0.00148121000000001 × 6371000     		dl = 9436.78891000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26379871-0.26231750) × R
    0.00148121000000001 × 6371000     		dr = 9436.78891000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51848551) × cos(0.26379871) × R
    0.00153397999999993 × 0.965406433429109 × 6371000     		do = 9434.90411814795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51848551) × cos(0.26231750) × R
    0.00153397999999993 × 0.965791599343304 × 6371000     		du = 9438.66833945845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26379871)-sin(0.26231750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965406433429109-0.965791599343304)×R²
    abs(0.51848551-0.51695153)×0.000385165914195018×R²
    0.00153397999999993×0.000385165914195018×6371000²
    0.00153397999999993×0.000385165914195018×40589641000000     		ar = 89052975.9117381m²