Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23849 / 27499
↖ ↑ ↗
← N 27.785632°
W 48.993531°		 ← 540.42 m → N 27.785632°
W 48.988037°		 →
↑
540.45 m
↓
↑
540.45 m
↓
N 27.780771°
W 48.993531°		 ← 540.44 m →
292 077 m²		 N 27.780771°
W 48.988037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363914489746094 y=0.419609069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363914489746094 × 216)
    floor (0.363914489746094 × 65536)
    floor (23849.5)     		tx = 23849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419609069824219 × 216)
    floor (0.419609069824219 × 65536)
    floor (27499.5)     		ty = 27499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23849 / 27499 ti = "16/23849/27499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23849/27499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23849 ÷ 216
    23849 ÷ 65536     		x = 0.363906860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27499 ÷ 216
    27499 ÷ 65536     		y = 0.419601440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363906860351562 × 2 - 1) × π
    -0.272186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85509842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419601440429688 × 2 - 1) × π
    0.160797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.505159048196152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85509842} λ = -0.85509842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505159048196152))-π/2
    2×atan(1.65724908197787)-π/2
    2×1.02787354097402-π/2
    2.05574708194803-1.57079632675     		φ = 0.48495076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85509842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.993531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48495076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.785632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23849 KachelY 27499 -0.85509842 0.48495076 -48.993531 27.785632
    Oben rechts KachelX + 1 23850 KachelY 27499 -0.85500254 0.48495076 -48.988037 27.785632
    Unten links KachelX 23849 KachelY + 1 27500 -0.85509842 0.48486593 -48.993531 27.780771
    Unten rechts KachelX + 1 23850 KachelY + 1 27500 -0.85500254 0.48486593 -48.988037 27.780771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48495076-0.48486593) × R
    8.48299999999802e-05 × 6371000     		dl = 540.451929999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48495076-0.48486593) × R
    8.48299999999802e-05 × 6371000     		dr = 540.451929999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85509842--0.85500254) × cos(0.48495076) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.884697904135657 × 6371000     		do = 540.419024094435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85509842--0.85500254) × cos(0.48486593) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.88473744571218 × 6371000     		du = 540.443178124976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48495076)-sin(0.48486593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884697904135657-0.88473744571218)×R²
    abs(-0.85500254--0.85509842)×3.95415765235274e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.95415765235274e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.95415765235274e-05×40589641000000     		ar = 292077.031801906m²