Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 23849 / 25577
↖ ↑ ↗
← S 70.528560°
E 82.012939°		 ← 407.22 m → S 70.528560°
E 82.023926°		 →
↑
407.17 m
↓
↑
407.17 m
↓
S 70.532221°
E 82.012939°		 ← 407.14 m →
165 792 m²		 S 70.532221°
E 82.023926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.727828979492188 y=0.780563354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.727828979492188 × 215)
    floor (0.727828979492188 × 32768)
    floor (23849.5)     		tx = 23849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780563354492188 × 215)
    floor (0.780563354492188 × 32768)
    floor (25577.5)     		ty = 25577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 23849 / 25577 ti = "15/23849/25577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/23849/25577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23849 ÷ 215
    23849 ÷ 32768     		x = 0.727813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25577 ÷ 215
    25577 ÷ 32768     		y = 0.780548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.727813720703125 × 2 - 1) × π
    0.45562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.43139582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.56109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7627356728287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.43139582} λ = 1.43139582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7627356728287))-π/2
    2×atan(0.171574848560892)-π/2
    2×0.169920371605851-π/2
    0.339840743211701-1.57079632675     		φ = -1.23095558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.43139582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 82.012939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23095558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.528560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23849 KachelY 25577 1.43139582 -1.23095558 82.012939 -70.528560
    Oben rechts KachelX + 1 23850 KachelY 25577 1.43158757 -1.23095558 82.023926 -70.528560
    Unten links KachelX 23849 KachelY + 1 25578 1.43139582 -1.23101949 82.012939 -70.532221
    Unten rechts KachelX + 1 23850 KachelY + 1 25578 1.43158757 -1.23101949 82.023926 -70.532221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23095558--1.23101949) × R
    6.39099999999448e-05 × 6371000     		dl = 407.170609999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23095558--1.23101949) × R
    6.39099999999448e-05 × 6371000     		dr = 407.170609999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.43139582-1.43158757) × cos(-1.23095558) × R
    0.000191749999999935 × 0.333336951210457 × 6371000     		do = 407.217503073891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.43139582-1.43158757) × cos(-1.23101949) × R
    0.000191749999999935 × 0.333276695685644 × 6371000     		du = 407.14389255975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23095558)-sin(-1.23101949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333336951210457-0.333276695685644)×R²
    abs(1.43158757-1.43139582)×6.02555248132575e-05×R²
    0.000191749999999935×6.02555248132575e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.02555248132575e-05×40589641000000     		ar = 165792.013166234m²