Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23845 / 27485
↖ ↑ ↗
← N 27.853647°
W 49.015503°		 ← 540.02 m → N 27.853647°
W 49.010010°		 →
↑
540.01 m
↓
↑
540.01 m
↓
N 27.848791°
W 49.015503°		 ← 540.05 m →
291 623 m²		 N 27.848791°
W 49.010010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363853454589844 y=0.419395446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363853454589844 × 216)
    floor (0.363853454589844 × 65536)
    floor (23845.5)     		tx = 23845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419395446777344 × 216)
    floor (0.419395446777344 × 65536)
    floor (27485.5)     		ty = 27485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23845 / 27485 ti = "16/23845/27485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23845/27485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23845 ÷ 216
    23845 ÷ 65536     		x = 0.363845825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27485 ÷ 216
    27485 ÷ 65536     		y = 0.419387817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363845825195312 × 2 - 1) × π
    -0.272308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85548191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419387817382812 × 2 - 1) × π
    0.161224365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.506501281385513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85548191} λ = -0.85548191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506501281385513))-π/2
    2×atan(1.65947499020851)-π/2
    2×1.0284670905689-π/2
    2.0569341811378-1.57079632675     		φ = 0.48613785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85548191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.015503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48613785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.853647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23845 KachelY 27485 -0.85548191 0.48613785 -49.015503 27.853647
    Oben rechts KachelX + 1 23846 KachelY 27485 -0.85538604 0.48613785 -49.010010 27.853647
    Unten links KachelX 23845 KachelY + 1 27486 -0.85548191 0.48605309 -49.015503 27.848791
    Unten rechts KachelX + 1 23846 KachelY + 1 27486 -0.85538604 0.48605309 -49.010010 27.848791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48613785-0.48605309) × R
    8.47599999999615e-05 × 6371000     		dl = 540.005959999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48613785-0.48605309) × R
    8.47599999999615e-05 × 6371000     		dr = 540.005959999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85548191--0.85538604) × cos(0.48613785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884143901345771 × 6371000     		do = 540.024281862072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85548191--0.85538604) × cos(0.48605309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88418349928645 × 6371000     		du = 540.048467799956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48613785)-sin(0.48605309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884143901345771-0.88418349928645)×R²
    abs(-0.85538604--0.85548191)×3.95979406793145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95979406793145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95979406793145e-05×40589641000000     		ar = 291622.861199918m²