Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23843 / 27489
↖ ↑ ↗
← N 27.834219°
W 49.026489°		 ← 540.18 m → N 27.834219°
W 49.020996°		 →
↑
540.13 m
↓
↑
540.13 m
↓
N 27.829361°
W 49.026489°		 ← 540.20 m →
291 774 m²		 N 27.829361°
W 49.020996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363822937011719 y=0.419456481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363822937011719 × 216)
    floor (0.363822937011719 × 65536)
    floor (23843.5)     		tx = 23843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419456481933594 × 216)
    floor (0.419456481933594 × 65536)
    floor (27489.5)     		ty = 27489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23843 / 27489 ti = "16/23843/27489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23843/27489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23843 ÷ 216
    23843 ÷ 65536     		x = 0.363815307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27489 ÷ 216
    27489 ÷ 65536     		y = 0.419448852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363815307617188 × 2 - 1) × π
    -0.272369384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85567366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419448852539062 × 2 - 1) × π
    0.161102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.506117786188553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85567366} λ = -0.85567366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506117786188553))-π/2
    2×atan(1.65883871153299)-π/2
    2×1.02829754291388-π/2
    2.05659508582777-1.57079632675     		φ = 0.48579876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85567366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.026489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48579876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.834219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23843 KachelY 27489 -0.85567366 0.48579876 -49.026489 27.834219
    Oben rechts KachelX + 1 23844 KachelY 27489 -0.85557778 0.48579876 -49.020996 27.834219
    Unten links KachelX 23843 KachelY + 1 27490 -0.85567366 0.48571398 -49.026489 27.829361
    Unten rechts KachelX + 1 23844 KachelY + 1 27490 -0.85557778 0.48571398 -49.020996 27.829361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48579876-0.48571398) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dl = 540.133380000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48579876-0.48571398) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dr = 540.133380000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85567366--0.85557778) × cos(0.48579876) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.884302278339882 × 6371000     		do = 540.17735549156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85567366--0.85557778) × cos(0.48571398) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.884341860203097 × 6371000     		du = 540.201534131286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48579876)-sin(0.48571398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884302278339882-0.884341860203097)×R²
    abs(-0.85557778--0.85567366)×3.95818632148437e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.95818632148437e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.95818632148437e-05×40589641000000     		ar = 291774.350841048m²