Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23843 / 27449
↖ ↑ ↗
← N 28.028349°
W 49.026489°		 ← 539.21 m → N 28.028349°
W 49.020996°		 →
↑
539.18 m
↓
↑
539.18 m
↓
N 28.023500°
W 49.026489°		 ← 539.23 m →
290 735 m²		 N 28.023500°
W 49.020996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363822937011719 y=0.418846130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363822937011719 × 216)
    floor (0.363822937011719 × 65536)
    floor (23843.5)     		tx = 23843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418846130371094 × 216)
    floor (0.418846130371094 × 65536)
    floor (27449.5)     		ty = 27449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23843 / 27449 ti = "16/23843/27449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23843/27449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23843 ÷ 216
    23843 ÷ 65536     		x = 0.363815307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27449 ÷ 216
    27449 ÷ 65536     		y = 0.418838500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363815307617188 × 2 - 1) × π
    -0.272369384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85567366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418838500976562 × 2 - 1) × π
    0.162322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.509952738158157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85567366} λ = -0.85567366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509952738158157))-π/2
    2×atan(1.66521249207664)-π/2
    2×1.02999165086688-π/2
    2.05998330173376-1.57079632675     		φ = 0.48918697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85567366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.026489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48918697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.028349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23843 KachelY 27449 -0.85567366 0.48918697 -49.026489 28.028349
    Oben rechts KachelX + 1 23844 KachelY 27449 -0.85557778 0.48918697 -49.020996 28.028349
    Unten links KachelX 23843 KachelY + 1 27450 -0.85567366 0.48910234 -49.026489 28.023500
    Unten rechts KachelX + 1 23844 KachelY + 1 27450 -0.85557778 0.48910234 -49.020996 28.023500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48918697-0.48910234) × R
    8.46299999999744e-05 × 6371000     		dl = 539.177729999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48918697-0.48910234) × R
    8.46299999999744e-05 × 6371000     		dr = 539.177729999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85567366--0.85557778) × cos(0.48918697) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.882715199914989 × 6371000     		do = 539.207886286837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85567366--0.85557778) × cos(0.48910234) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.882754965099155 × 6371000     		du = 539.232176908438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48918697)-sin(0.48910234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882715199914989-0.882754965099155)×R²
    abs(-0.85557778--0.85567366)×3.97651841658186e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.97651841658186e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.97651841658186e-05×40589641000000     		ar = 290735.432780744m²