Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23840 / 27492
↖ ↑ ↗
← N 27.819645°
W 49.042969°		 ← 540.19 m → N 27.819645°
W 49.037476°		 →
↑
540.26 m
↓
↑
540.26 m
↓
N 27.814786°
W 49.042969°		 ← 540.22 m →
291 852 m²		 N 27.814786°
W 49.037476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363777160644531 y=0.419502258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363777160644531 × 216)
    floor (0.363777160644531 × 65536)
    floor (23840.5)     		tx = 23840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419502258300781 × 216)
    floor (0.419502258300781 × 65536)
    floor (27492.5)     		ty = 27492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23840 / 27492 ti = "16/23840/27492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23840/27492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23840 ÷ 216
    23840 ÷ 65536     		x = 0.36376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27492 ÷ 216
    27492 ÷ 65536     		y = 0.41949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36376953125 × 2 - 1) × π
    -0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41949462890625 × 2 - 1) × π
    0.1610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505830164790833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85596128} λ = -0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505830164790833))-π/2
    2×atan(1.65836166263221)-π/2
    2×1.02817036224688-π/2
    2.05634072449377-1.57079632675     		φ = 0.48554440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48554440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.819645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23840 KachelY 27492 -0.85596128 0.48554440 -49.042969 27.819645
    Oben rechts KachelX + 1 23841 KachelY 27492 -0.85586541 0.48554440 -49.037476 27.819645
    Unten links KachelX 23840 KachelY + 1 27493 -0.85596128 0.48545960 -49.042969 27.814786
    Unten rechts KachelX + 1 23841 KachelY + 1 27493 -0.85586541 0.48545960 -49.037476 27.814786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48554440-0.48545960) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dl = 540.260799999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48554440-0.48545960) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dr = 540.260799999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85596128--0.85586541) × cos(0.48554440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884421014194026 × 6371000     		do = 540.193539000695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85596128--0.85586541) × cos(0.48545960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884460586318171 × 6371000     		du = 540.217709170156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48554440)-sin(0.48545960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884421014194026-0.884460586318171)×R²
    abs(-0.85586541--0.85596128)×3.95721241450708e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95721241450708e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95721241450708e-05×40589641000000     		ar = 291851.922807818m²