Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2384 / 1840
↖ ↑ ↗
← N 17.978733°
E 29.531250°		 ← 9 295.84 m → N 17.978733°
E 29.619141°		 →
↑
9 298.03 m
↓
↑
9 298.03 m
↓
N 17.895114°
E 29.531250°		 ← 9 300.24 m →
86 453 455 m²		 N 17.895114°
E 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5821533203125 y=0.4493408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5821533203125 × 212)
    floor (0.5821533203125 × 4096)
    floor (2384.5)     		tx = 2384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4493408203125 × 212)
    floor (0.4493408203125 × 4096)
    floor (1840.5)     		ty = 1840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2384 / 1840 ti = "12/2384/1840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2384/1840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2384 ÷ 212
    2384 ÷ 4096     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1840 ÷ 212
    1840 ÷ 4096     		y = 0.44921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44921875 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319068003871094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319068003871094))-π/2
    2×atan(1.37584488450297)-π/2
    2×0.942292207320475-π/2
    1.88458441464095-1.57079632675     		φ = 0.31378809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31378809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.978733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2384 KachelY 1840 0.51541754 0.31378809 29.531250 17.978733
    Oben rechts KachelX + 1 2385 KachelY 1840 0.51695153 0.31378809 29.619141 17.978733
    Unten links KachelX 2384 KachelY + 1 1841 0.51541754 0.31232866 29.531250 17.895114
    Unten rechts KachelX + 1 2385 KachelY + 1 1841 0.51695153 0.31232866 29.619141 17.895114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31378809-0.31232866) × R
    0.00145943000000004 × 6371000     		dl = 9298.02853000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31378809-0.31232866) × R
    0.00145943000000004 × 6371000     		dr = 9298.02853000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51695153) × cos(0.31378809) × R
    0.0015339900000001 × 0.951171150272265 × 6371000     		do = 9295.84348600857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51695153) × cos(0.31232866) × R
    0.0015339900000001 × 0.951620610595224 × 6371000     		du = 9300.23608434822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31378809)-sin(0.31232866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951171150272265-0.951620610595224)×R²
    abs(0.51695153-0.51541754)×0.000449460322959561×R²
    0.0015339900000001×0.000449460322959561×6371000²
    0.0015339900000001×0.000449460322959561×40589641000000     		ar = 86453454.5406933m²