Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23835 / 27515
↖ ↑ ↗
← N 27.707847°
W 49.070435°		 ← 540.81 m → N 27.707847°
W 49.064941°		 →
↑
540.77 m
↓
↑
540.77 m
↓
N 27.702984°
W 49.070435°		 ← 540.83 m →
292 458 m²		 N 27.702984°
W 49.064941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363700866699219 y=0.419853210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363700866699219 × 216)
    floor (0.363700866699219 × 65536)
    floor (23835.5)     		tx = 23835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419853210449219 × 216)
    floor (0.419853210449219 × 65536)
    floor (27515.5)     		ty = 27515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23835 / 27515 ti = "16/23835/27515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23835/27515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23835 ÷ 216
    23835 ÷ 65536     		x = 0.363693237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27515 ÷ 216
    27515 ÷ 65536     		y = 0.419845581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363693237304688 × 2 - 1) × π
    -0.272613525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85644065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419845581054688 × 2 - 1) × π
    0.160308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.50362506740831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85644065} λ = -0.85644065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50362506740831))-π/2
    2×atan(1.65470884256279)-π/2
    2×1.02719474371578-π/2
    2.05438948743157-1.57079632675     		φ = 0.48359316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85644065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.070435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48359316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.707847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23835 KachelY 27515 -0.85644065 0.48359316 -49.070435 27.707847
    Oben rechts KachelX + 1 23836 KachelY 27515 -0.85634477 0.48359316 -49.064941 27.707847
    Unten links KachelX 23835 KachelY + 1 27516 -0.85644065 0.48350828 -49.070435 27.702984
    Unten rechts KachelX + 1 23836 KachelY + 1 27516 -0.85634477 0.48350828 -49.064941 27.702984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48359316-0.48350828) × R
    8.48800000000094e-05 × 6371000     		dl = 540.77048000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48359316-0.48350828) × R
    8.48800000000094e-05 × 6371000     		dr = 540.77048000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85644065--0.85634477) × cos(0.48359316) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.885329953986934 × 6371000     		do = 540.805112681522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85644065--0.85634477) × cos(0.48350828) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.885369416882763 × 6371000     		du = 540.829218649845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48359316)-sin(0.48350828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885329953986934-0.885369416882763)×R²
    abs(-0.85634477--0.85644065)×3.94628958293453e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.94628958293453e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.94628958293453e-05×40589641000000     		ar = 292457.958444836m²