Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2383 / 1868
↖ ↑ ↗
← N 15.623037°
E 29.443359°		 ← 9 411.92 m → N 15.623037°
E 29.531250°		 →
↑
9 413.85 m
↓
↑
9 413.85 m
↓
N 15.538376°
E 29.443359°		 ← 9 415.80 m →
88 620 683 m²		 N 15.538376°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5819091796875 y=0.4561767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5819091796875 × 212)
    floor (0.5819091796875 × 4096)
    floor (2383.5)     		tx = 2383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4561767578125 × 212)
    floor (0.4561767578125 × 4096)
    floor (1868.5)     		ty = 1868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2383 / 1868 ti = "12/2383/1868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2383/1868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2383 ÷ 212
    2383 ÷ 4096     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1868 ÷ 212
    1868 ÷ 4096     		y = 0.4560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    0.087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276116541811523))-π/2
    2×atan(1.31800145735454)-π/2
    2×0.921734879328903-π/2
    1.84346975865781-1.57079632675     		φ = 0.27267343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27267343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.623037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2383 KachelY 1868 0.51388356 0.27267343 29.443359 15.623037
    Oben rechts KachelX + 1 2384 KachelY 1868 0.51541754 0.27267343 29.531250 15.623037
    Unten links KachelX 2383 KachelY + 1 1869 0.51388356 0.27119582 29.443359 15.538376
    Unten rechts KachelX + 1 2384 KachelY + 1 1869 0.51541754 0.27119582 29.531250 15.538376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27267343-0.27119582) × R
    0.00147761000000002 × 6371000     		dl = 9413.85331000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27267343-0.27119582) × R
    0.00147761000000002 × 6371000     		dr = 9413.85331000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51541754) × cos(0.27267343) × R
    0.00153397999999993 × 0.963054365247437 × 6371000     		do = 9411.91738737322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51541754) × cos(0.27119582) × R
    0.00153397999999993 × 0.96345124456618 × 6371000     		du = 9415.79608362917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27267343)-sin(0.27119582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963054365247437-0.96345124456618)×R²
    abs(0.51541754-0.51388356)×0.000396879318742882×R²
    0.00153397999999993×0.000396879318742882×6371000²
    0.00153397999999993×0.000396879318742882×40589641000000     		ar = 88620682.5133941m²