Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2383 / 1841
↖ ↑ ↗
← N 17.895114°
E 29.443359°		 ← 9 300.18 m → N 17.895114°
E 29.531250°		 →
↑
9 302.36 m
↓
↑
9 302.36 m
↓
N 17.811456°
E 29.443359°		 ← 9 304.55 m →
86 533 951 m²		 N 17.811456°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5819091796875 y=0.4495849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5819091796875 × 212)
    floor (0.5819091796875 × 4096)
    floor (2383.5)     		tx = 2383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4495849609375 × 212)
    floor (0.4495849609375 × 4096)
    floor (1841.5)     		ty = 1841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2383 / 1841 ti = "12/2383/1841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2383/1841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2383 ÷ 212
    2383 ÷ 4096     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1841 ÷ 212
    1841 ÷ 4096     		y = 0.449462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    0.10107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.317534023083252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317534023083252))-π/2
    2×atan(1.37373598280397)-π/2
    2×0.941562495703708-π/2
    1.88312499140742-1.57079632675     		φ = 0.31232866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31232866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.895114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2383 KachelY 1841 0.51388356 0.31232866 29.443359 17.895114
    Oben rechts KachelX + 1 2384 KachelY 1841 0.51541754 0.31232866 29.531250 17.895114
    Unten links KachelX 2383 KachelY + 1 1842 0.51388356 0.31086855 29.443359 17.811456
    Unten rechts KachelX + 1 2384 KachelY + 1 1842 0.51541754 0.31086855 29.531250 17.811456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31232866-0.31086855) × R
    0.00146010999999996 × 6371000     		dl = 9302.36080999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31232866-0.31086855) × R
    0.00146010999999996 × 6371000     		dr = 9302.36080999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51541754) × cos(0.31232866) × R
    0.00153397999999993 × 0.951620610595224 × 6371000     		do = 9300.17545659814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51541754) × cos(0.31086855) × R
    0.00153397999999993 × 0.952068252030094 × 6371000     		du = 9304.55025033377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31232866)-sin(0.31086855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951620610595224-0.952068252030094)×R²
    abs(0.51541754-0.51388356)×0.000447641434869972×R²
    0.00153397999999993×0.000447641434869972×6371000²
    0.00153397999999993×0.000447641434869972×40589641000000     		ar = 86533951.0221113m²