Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23826 / 27505
↖ ↑ ↗
← N 27.756469°
W 49.119873°		 ← 540.51 m → N 27.756469°
W 49.114380°		 →
↑
540.52 m
↓
↑
540.52 m
↓
N 27.751608°
W 49.119873°		 ← 540.53 m →
292 159 m²		 N 27.751608°
W 49.114380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363563537597656 y=0.419700622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363563537597656 × 216)
    floor (0.363563537597656 × 65536)
    floor (23826.5)     		tx = 23826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419700622558594 × 216)
    floor (0.419700622558594 × 65536)
    floor (27505.5)     		ty = 27505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23826 / 27505 ti = "16/23826/27505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23826/27505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23826 ÷ 216
    23826 ÷ 65536     		x = 0.363555908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27505 ÷ 216
    27505 ÷ 65536     		y = 0.419692993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363555908203125 × 2 - 1) × π
    -0.27288818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85730351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419692993164062 × 2 - 1) × π
    0.160614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.504583805400711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85730351} λ = -0.85730351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504583805400711))-π/2
    2×atan(1.65629603552604)-π/2
    2×1.02761904881608-π/2
    2.05523809763217-1.57079632675     		φ = 0.48444177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85730351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.119873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48444177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.756469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23826 KachelY 27505 -0.85730351 0.48444177 -49.119873 27.756469
    Oben rechts KachelX + 1 23827 KachelY 27505 -0.85720764 0.48444177 -49.114380 27.756469
    Unten links KachelX 23826 KachelY + 1 27506 -0.85730351 0.48435693 -49.119873 27.751608
    Unten rechts KachelX + 1 23827 KachelY + 1 27506 -0.85720764 0.48435693 -49.114380 27.751608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48444177-0.48435693) × R
    8.48399999999749e-05 × 6371000     		dl = 540.51563999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48444177-0.48435693) × R
    8.48399999999749e-05 × 6371000     		dr = 540.51563999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85730351--0.85720764) × cos(0.48444177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884935062745982 × 6371000     		do = 540.507513569417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85730351--0.85720764) × cos(0.48435693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884974570773774 × 6371000     		du = 540.531644589609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48444177)-sin(0.48435693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884935062745982-0.884974570773774)×R²
    abs(-0.85720764--0.85730351)×3.95080277915127e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95080277915127e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95080277915127e-05×40589641000000     		ar = 292159.286393941m²