Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23825 / 27471
↖ ↑ ↗
← N 27.921620°
W 49.125366°		 ← 539.74 m → N 27.921620°
W 49.119873°		 →
↑
539.75 m
↓
↑
539.75 m
↓
N 27.916766°
W 49.125366°		 ← 539.77 m →
291 333 m²		 N 27.916766°
W 49.119873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363548278808594 y=0.419181823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363548278808594 × 216)
    floor (0.363548278808594 × 65536)
    floor (23825.5)     		tx = 23825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419181823730469 × 216)
    floor (0.419181823730469 × 65536)
    floor (27471.5)     		ty = 27471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23825 / 27471 ti = "16/23825/27471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23825/27471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23825 ÷ 216
    23825 ÷ 65536     		x = 0.363540649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27471 ÷ 216
    27471 ÷ 65536     		y = 0.419174194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363540649414062 × 2 - 1) × π
    -0.272918701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85739939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419174194335938 × 2 - 1) × π
    0.161651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.507843514574875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85739939} λ = -0.85739939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507843514574875))-π/2
    2×atan(1.66170388813303)-π/2
    2×1.02906026805909-π/2
    2.05812053611817-1.57079632675     		φ = 0.48732421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85739939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.125366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48732421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.921620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23825 KachelY 27471 -0.85739939 0.48732421 -49.125366 27.921620
    Oben rechts KachelX + 1 23826 KachelY 27471 -0.85730351 0.48732421 -49.119873 27.921620
    Unten links KachelX 23825 KachelY + 1 27472 -0.85739939 0.48723949 -49.125366 27.916766
    Unten rechts KachelX + 1 23826 KachelY + 1 27472 -0.85730351 0.48723949 -49.119873 27.916766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48732421-0.48723949) × R
    8.47199999999826e-05 × 6371000     		dl = 539.751119999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48732421-0.48723949) × R
    8.47199999999826e-05 × 6371000     		dr = 539.751119999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85739939--0.85730351) × cos(0.48732421) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.883588994468191 × 6371000     		do = 539.741644982253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85739939--0.85730351) × cos(0.48723949) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.883628662561301 × 6371000     		du = 539.765876295638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48732421)-sin(0.48723949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883588994468191-0.883628662561301)×R²
    abs(-0.85730351--0.85739939)×3.96680931099569e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.96680931099569e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.96680931099569e-05×40589641000000     		ar = 291332.697003215m²