Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23824 / 27504
↖ ↑ ↗
← N 27.761330°
W 49.130859°		 ← 540.48 m → N 27.761330°
W 49.125366°		 →
↑
540.52 m
↓
↑
540.52 m
↓
N 27.756469°
W 49.130859°		 ← 540.51 m →
292 146 m²		 N 27.756469°
W 49.125366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363533020019531 y=0.419685363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363533020019531 × 216)
    floor (0.363533020019531 × 65536)
    floor (23824.5)     		tx = 23824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419685363769531 × 216)
    floor (0.419685363769531 × 65536)
    floor (27504.5)     		ty = 27504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23824 / 27504 ti = "16/23824/27504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23824/27504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23824 ÷ 216
    23824 ÷ 65536     		x = 0.363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27504 ÷ 216
    27504 ÷ 65536     		y = 0.419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.27294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85749526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419677734375 × 2 - 1) × π
    0.16064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504679679199951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85749526} λ = -0.85749526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504679679199951))-π/2
    2×atan(1.65645483853204)-π/2
    2×1.02766146891226-π/2
    2.05532293782451-1.57079632675     		φ = 0.48452661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85749526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.130859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48452661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.761330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23824 KachelY 27504 -0.85749526 0.48452661 -49.130859 27.761330
    Oben rechts KachelX + 1 23825 KachelY 27504 -0.85739939 0.48452661 -49.125366 27.761330
    Unten links KachelX 23824 KachelY + 1 27505 -0.85749526 0.48444177 -49.130859 27.756469
    Unten rechts KachelX + 1 23825 KachelY + 1 27505 -0.85739939 0.48444177 -49.125366 27.756469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48452661-0.48444177) × R
    8.48400000000304e-05 × 6371000     		dl = 540.515640000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48452661-0.48444177) × R
    8.48400000000304e-05 × 6371000     		dr = 540.515640000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85749526--0.85739939) × cos(0.48452661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884895548348582 × 6371000     		do = 540.483378658746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85749526--0.85739939) × cos(0.48444177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884935062745982 × 6371000     		du = 540.507513569417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48452661)-sin(0.48444177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884895548348582-0.884935062745982)×R²
    abs(-0.85739939--0.85749526)×3.9514397399909e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9514397399909e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9514397399909e-05×40589641000000     		ar = 292146.242148615m²