Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23823 / 29967
↖ ↑ ↗
← N 69.396750°
W114.568176°		 ← 107.46 m → N 69.396750°
W114.565430°		 →
↑
107.48 m
↓
↑
107.48 m
↓
N 69.395783°
W114.568176°		 ← 107.46 m →
11 549 m²		 N 69.395783°
W114.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181758880615234 y=0.228633880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181758880615234 × 217)
    floor (0.181758880615234 × 131072)
    floor (23823.5)     		tx = 23823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228633880615234 × 217)
    floor (0.228633880615234 × 131072)
    floor (29967.5)     		ty = 29967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23823 / 29967 ti = "17/23823/29967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23823/29967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23823 ÷ 217
    23823 ÷ 131072     		x = 0.181755065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29967 ÷ 217
    29967 ÷ 131072     		y = 0.228630065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.181755065917969 × 2 - 1) × π
    -0.636489868164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.99959189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228630065917969 × 2 - 1) × π
    0.542739868164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.70506758258578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.99959189} λ = -1.99959189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70506758258578))-π/2
    2×atan(5.50175747764406)-π/2
    2×1.39099904889663-π/2
    2.78199809779327-1.57079632675     		φ = 1.21120177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.99959189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.568176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21120177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.396750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23823 KachelY 29967 -1.99959189 1.21120177 -114.568176 69.396750
    Oben rechts KachelX + 1 23824 KachelY 29967 -1.99954396 1.21120177 -114.565430 69.396750
    Unten links KachelX 23823 KachelY + 1 29968 -1.99959189 1.21118490 -114.568176 69.395783
    Unten rechts KachelX + 1 23824 KachelY + 1 29968 -1.99954396 1.21118490 -114.565430 69.395783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21120177-1.21118490) × R
    1.68700000000577e-05 × 6371000     		dl = 107.478770000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21120177-1.21118490) × R
    1.68700000000577e-05 × 6371000     		dr = 107.478770000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.99959189--1.99954396) × cos(1.21120177) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351894751323491 × 6371000     		do = 107.455295610552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.99959189--1.99954396) × cos(1.21118490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351910542261028 × 6371000     		du = 107.460117563294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21120177)-sin(1.21118490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351894751323491-0.351910542261028)×R²
    abs(-1.99954396--1.99959189)×1.57909375376741e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57909375376741e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57909375376741e-05×40589641000000     		ar = 11549.4221311441m²