Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2382 / 1935
↖ ↑ ↗
← N  9.882275°
E 29.355469°		 ← 9 627.98 m → N  9.882275°
E 29.443359°		 →
↑
9 629.19 m
↓
↑
9 629.19 m
↓
N  9.795678°
E 29.355469°		 ← 9 630.50 m →
92 721 844 m²		 N  9.795678°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5816650390625 y=0.4725341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5816650390625 × 212)
    floor (0.5816650390625 × 4096)
    floor (2382.5)     		tx = 2382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4725341796875 × 212)
    floor (0.4725341796875 × 4096)
    floor (1935.5)     		ty = 1935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2382 / 1935 ti = "12/2382/1935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2382/1935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2382 ÷ 212
    2382 ÷ 4096     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1935 ÷ 212
    1935 ÷ 4096     		y = 0.472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.472412109375 × 2 - 1) × π
    0.05517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.173339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.173339829026123))-π/2
    2×atan(1.18927018494986)-π/2
    2×0.871637285869758-π/2
    1.74327457173952-1.57079632675     		φ = 0.17247824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17247824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.882275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2382 KachelY 1935 0.51234958 0.17247824 29.355469 9.882275
    Oben rechts KachelX + 1 2383 KachelY 1935 0.51388356 0.17247824 29.443359 9.882275
    Unten links KachelX 2382 KachelY + 1 1936 0.51234958 0.17096683 29.355469 9.795678
    Unten rechts KachelX + 1 2383 KachelY + 1 1936 0.51388356 0.17096683 29.443359 9.795678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17247824-0.17096683) × R
    0.00151141000000002 × 6371000     		dl = 9629.19311000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17247824-0.17096683) × R
    0.00151141000000002 × 6371000     		dr = 9629.19311000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51388356) × cos(0.17247824) × R
    0.00153398000000005 × 0.985162466305611 × 6371000     		do = 9627.97956232473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51388356) × cos(0.17096683) × R
    0.00153398000000005 × 0.9854207357218 × 6371000     		du = 9630.50362586317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17247824)-sin(0.17096683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985162466305611-0.9854207357218)×R²
    abs(0.51388356-0.51234958)×0.000258269416189338×R²
    0.00153398000000005×0.000258269416189338×6371000²
    0.00153398000000005×0.000258269416189338×40589641000000     		ar = 92721844.463216m²