Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2382 / 1830
↖ ↑ ↗
← N 18.812718°
E 29.355469°		 ← 9 250.89 m → N 18.812718°
E 29.443359°		 →
↑
9 253.18 m
↓
↑
9 253.18 m
↓
N 18.729502°
E 29.355469°		 ← 9 255.46 m →
85 621 278 m²		 N 18.729502°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5816650390625 y=0.4468994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5816650390625 × 212)
    floor (0.5816650390625 × 4096)
    floor (2382.5)     		tx = 2382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4468994140625 × 212)
    floor (0.4468994140625 × 4096)
    floor (1830.5)     		ty = 1830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2382 / 1830 ti = "12/2382/1830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2382/1830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2382 ÷ 212
    2382 ÷ 4096     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1830 ÷ 212
    1830 ÷ 4096     		y = 0.44677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    0.1064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.334407811749512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334407811749512))-π/2
    2×atan(1.39711278642278)-π/2
    2×0.949570097314447-π/2
    1.89914019462889-1.57079632675     		φ = 0.32834387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32834387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.812718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2382 KachelY 1830 0.51234958 0.32834387 29.355469 18.812718
    Oben rechts KachelX + 1 2383 KachelY 1830 0.51388356 0.32834387 29.443359 18.812718
    Unten links KachelX 2382 KachelY + 1 1831 0.51234958 0.32689148 29.355469 18.729502
    Unten rechts KachelX + 1 2383 KachelY + 1 1831 0.51388356 0.32689148 29.443359 18.729502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32834387-0.32689148) × R
    0.00145238999999997 × 6371000     		dl = 9253.17668999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32834387-0.32689148) × R
    0.00145238999999997 × 6371000     		dr = 9253.17668999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51388356) × cos(0.32834387) × R
    0.00153398000000005 × 0.946577703277318 × 6371000     		do = 9250.89119105673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51388356) × cos(0.32689148) × R
    0.00153398000000005 × 0.947045065389796 × 6371000     		du = 9255.45871470998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32834387)-sin(0.32689148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946577703277318-0.947045065389796)×R²
    abs(0.51388356-0.51234958)×0.000467362112478442×R²
    0.00153398000000005×0.000467362112478442×6371000²
    0.00153398000000005×0.000467362112478442×40589641000000     		ar = 85621277.8335679m²