Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2382 / 1362
↖ ↑ ↗
← N 81.666057°
W127.661133°		 ← 354.13 m → N 81.666057°
W127.639160°		 →
↑
354.16 m
↓
↑
354.16 m
↓
N 81.662872°
W127.661133°		 ← 354.26 m →
125 442 m²		 N 81.662872°
W127.639160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145416259765625 y=0.083160400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145416259765625 × 214)
    floor (0.145416259765625 × 16384)
    floor (2382.5)     		tx = 2382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.083160400390625 × 214)
    floor (0.083160400390625 × 16384)
    floor (1362.5)     		ty = 1362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2382 / 1362 ti = "14/2382/1362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2382/1362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2382 ÷ 214
    2382 ÷ 16384     		x = 0.1453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1362 ÷ 214
    1362 ÷ 16384     		y = 0.0831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22810709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0831298828125 × 2 - 1) × π
    0.833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61927219523987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22810709} λ = -2.22810709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61927219523987))-π/2
    2×atan(13.7257302970913)-π/2
    2×1.49806895519504-π/2
    2.99613791039008-1.57079632675     		φ = 1.42534158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22810709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.661133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42534158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.666057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2382 KachelY 1362 -2.22810709 1.42534158 -127.661133 81.666057
    Oben rechts KachelX + 1 2383 KachelY 1362 -2.22772360 1.42534158 -127.639160 81.666057
    Unten links KachelX 2382 KachelY + 1 1363 -2.22810709 1.42528599 -127.661133 81.662872
    Unten rechts KachelX + 1 2383 KachelY + 1 1363 -2.22772360 1.42528599 -127.639160 81.662872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42534158-1.42528599) × R
    5.55900000001053e-05 × 6371000     		dl = 354.163890000671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42534158-1.42528599) × R
    5.55900000001053e-05 × 6371000     		dr = 354.163890000671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22810709--2.22772360) × cos(1.42534158) × R
    0.000383489999999931 × 0.144942389394114 × 6371000     		do = 354.125389465575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22810709--2.22772360) × cos(1.42528599) × R
    0.000383489999999931 × 0.144997392145074 × 6371000     		du = 354.25977300021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42534158)-sin(1.42528599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144942389394114-0.144997392145074)×R²
    abs(-2.22772360--2.22810709)×5.50027509596263e-05×R²
    0.000383489999999931×5.50027509596263e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.50027509596263e-05×40589641000000     		ar = 125442.222411717m²