Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23816 / 27496
↖ ↑ ↗
← N 27.800210°
W 49.174805°		 ← 540.29 m → N 27.800210°
W 49.169312°		 →
↑
540.32 m
↓
↑
540.32 m
↓
N 27.795351°
W 49.174805°		 ← 540.31 m →
291 939 m²		 N 27.795351°
W 49.169312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363410949707031 y=0.419563293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363410949707031 × 216)
    floor (0.363410949707031 × 65536)
    floor (23816.5)     		tx = 23816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419563293457031 × 216)
    floor (0.419563293457031 × 65536)
    floor (27496.5)     		ty = 27496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23816 / 27496 ti = "16/23816/27496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23816/27496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23816 ÷ 216
    23816 ÷ 65536     		x = 0.3634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27496 ÷ 216
    27496 ÷ 65536     		y = 0.4195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85826225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4195556640625 × 2 - 1) × π
    0.160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505446669593872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85826225} λ = -0.85826225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505446669593872))-π/2
    2×atan(1.65772581083062)-π/2
    2×1.02800076146786-π/2
    2.05600152293571-1.57079632675     		φ = 0.48520520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85826225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48520520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.800210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23816 KachelY 27496 -0.85826225 0.48520520 -49.174805 27.800210
    Oben rechts KachelX + 1 23817 KachelY 27496 -0.85816638 0.48520520 -49.169312 27.800210
    Unten links KachelX 23816 KachelY + 1 27497 -0.85826225 0.48512039 -49.174805 27.795351
    Unten rechts KachelX + 1 23817 KachelY + 1 27497 -0.85816638 0.48512039 -49.169312 27.795351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48520520-0.48512039) × R
    8.48099999999907e-05 × 6371000     		dl = 540.324509999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48520520-0.48512039) × R
    8.48099999999907e-05 × 6371000     		dr = 540.324509999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85826225--0.85816638) × cos(0.48520520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884579264528319 × 6371000     		do = 540.29019636948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85826225--0.85816638) × cos(0.48512039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88461881587314 × 6371000     		du = 540.314353847184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48520520)-sin(0.48512039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884579264528319-0.88461881587314)×R²
    abs(-0.85816638--0.85826225)×3.95513448210316e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95513448210316e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95513448210316e-05×40589641000000     		ar = 291938.562224773m²