Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23808 / 27392
↖ ↑ ↗
← N 28.304381°
W 49.218750°		 ← 537.76 m → N 28.304381°
W 49.213257°		 →
↑
537.84 m
↓
↑
537.84 m
↓
N 28.299544°
W 49.218750°		 ← 537.79 m →
289 237 m²		 N 28.299544°
W 49.213257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363288879394531 y=0.417976379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363288879394531 × 216)
    floor (0.363288879394531 × 65536)
    floor (23808.5)     		tx = 23808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417976379394531 × 216)
    floor (0.417976379394531 × 65536)
    floor (27392.5)     		ty = 27392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23808 / 27392 ti = "16/23808/27392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23808/27392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23808 ÷ 216
    23808 ÷ 65536     		x = 0.36328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27392 ÷ 216
    27392 ÷ 65536     		y = 0.41796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36328125 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41796875 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85902924} λ = -0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515417544714844))-π/2
    2×atan(1.67433746662289)-π/2
    2×1.03240048121875-π/2
    2.06480096243751-1.57079632675     		φ = 0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23808 KachelY 27392 -0.85902924 0.49400464 -49.218750 28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 23809 KachelY 27392 -0.85893337 0.49400464 -49.213257 28.304381
    Unten links KachelX 23808 KachelY + 1 27393 -0.85902924 0.49392022 -49.218750 28.299544
    Unten rechts KachelX + 1 23809 KachelY + 1 27393 -0.85893337 0.49392022 -49.213257 28.299544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49400464-0.49392022) × R
    8.4419999999974e-05 × 6371000     		dl = 537.839819999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49400464-0.49392022) × R
    8.4419999999974e-05 × 6371000     		dr = 537.839819999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85902924--0.85893337) × cos(0.49400464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 537.762656910999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85902924--0.85893337) × cos(0.49392022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880481126424298 × 6371000     		du = 537.787103735773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49400464)-sin(0.49392022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.880481126424298)×R²
    abs(-0.85893337--0.85902924)×4.00250724966744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00250724966744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00250724966744e-05×40589641000000     		ar = 289236.745005405m²