Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23808 / 27391
↖ ↑ ↗
← N 28.309217°
W 49.218750°		 ← 537.74 m → N 28.309217°
W 49.213257°		 →
↑
537.78 m
↓
↑
537.78 m
↓
N 28.304381°
W 49.218750°		 ← 537.76 m →
289 189 m²		 N 28.304381°
W 49.213257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363288879394531 y=0.417961120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363288879394531 × 216)
    floor (0.363288879394531 × 65536)
    floor (23808.5)     		tx = 23808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417961120605469 × 216)
    floor (0.417961120605469 × 65536)
    floor (27391.5)     		ty = 27391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23808 / 27391 ti = "16/23808/27391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23808/27391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23808 ÷ 216
    23808 ÷ 65536     		x = 0.36328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27391 ÷ 216
    27391 ÷ 65536     		y = 0.417953491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36328125 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417953491210938 × 2 - 1) × π
    0.164093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.515513418514084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85902924} λ = -0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515513418514084))-π/2
    2×atan(1.67449799941235)-π/2
    2×1.0324426858762-π/2
    2.0648853717524-1.57079632675     		φ = 0.49408905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49408905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.309217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23808 KachelY 27391 -0.85902924 0.49408905 -49.218750 28.309217
    Oben rechts KachelX + 1 23809 KachelY 27391 -0.85893337 0.49408905 -49.213257 28.309217
    Unten links KachelX 23808 KachelY + 1 27392 -0.85902924 0.49400464 -49.218750 28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 23809 KachelY + 1 27392 -0.85893337 0.49400464 -49.213257 28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49408905-0.49400464) × R
    8.44099999999792e-05 × 6371000     		dl = 537.776109999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49408905-0.49400464) × R
    8.44099999999792e-05 × 6371000     		dr = 537.776109999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85902924--0.85893337) × cos(0.49408905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880401074746932 × 6371000     		do = 537.73820915027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85902924--0.85893337) × cos(0.49400464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 537.762656910999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49408905)-sin(0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880401074746932-0.880441101351802)×R²
    abs(-0.85893337--0.85902924)×4.00266048697917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00266048697917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00266048697917e-05×40589641000000     		ar = 289189.336197586m²