Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2380 / 1938
↖ ↑ ↗
← N  9.622414°
E 29.179687°		 ← 9 635.49 m → N  9.622414°
E 29.267578°		 →
↑
9 636.71 m
↓
↑
9 636.71 m
↓
N  9.535749°
E 29.179687°		 ← 9 637.95 m →
92 866 280 m²		 N  9.535749°
E 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5811767578125 y=0.4732666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5811767578125 × 212)
    floor (0.5811767578125 × 4096)
    floor (2380.5)     		tx = 2380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4732666015625 × 212)
    floor (0.4732666015625 × 4096)
    floor (1938.5)     		ty = 1938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2380 / 1938 ti = "12/2380/1938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2380/1938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2380 ÷ 212
    2380 ÷ 4096     		x = 0.5810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1938 ÷ 212
    1938 ÷ 4096     		y = 0.47314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47314453125 × 2 - 1) × π
    0.0537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.168737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50928162} λ = 0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.168737886662598))-π/2
    2×atan(1.18380980591546)-π/2
    2×0.869369567787324-π/2
    1.73873913557465-1.57079632675     		φ = 0.16794281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16794281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.622414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2380 KachelY 1938 0.50928162 0.16794281 29.179687 9.622414
    Oben rechts KachelX + 1 2381 KachelY 1938 0.51081560 0.16794281 29.267578 9.622414
    Unten links KachelX 2380 KachelY + 1 1939 0.50928162 0.16643022 29.179687 9.535749
    Unten rechts KachelX + 1 2381 KachelY + 1 1939 0.51081560 0.16643022 29.267578 9.535749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16794281-0.16643022) × R
    0.00151259000000001 × 6371000     		dl = 9636.71089000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16794281-0.16643022) × R
    0.00151259000000001 × 6371000     		dr = 9636.71089000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50928162-0.51081560) × cos(0.16794281) × R
    0.00153398000000005 × 0.985930721388994 × 6371000     		do = 9635.48770894464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50928162-0.51081560) × cos(0.16643022) × R
    0.00153398000000005 × 0.98618242958398 × 6371000     		du = 9637.94764975632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16794281)-sin(0.16643022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985930721388994-0.98618242958398)×R²
    abs(0.51081560-0.50928162)×0.000251708194986544×R²
    0.00153398000000005×0.000251708194986544×6371000²
    0.00153398000000005×0.000251708194986544×40589641000000     		ar = 92866279.9104052m²