Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 238 / 134
↖ ↑ ↗
← N 64.774125°
W 12.656250°		 ← 33.321 km → N 64.774125°
W 11.953125°		 →
↑
33.507 km
↓
↑
33.507 km
↓
N 64.472794°
W 12.656250°		 ← 33.693 km →
1 122.70 km²		 N 64.472794°
W 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4658203125 y=0.2626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4658203125 × 29)
    floor (0.4658203125 × 512)
    floor (238.5)     		tx = 238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2626953125 × 29)
    floor (0.2626953125 × 512)
    floor (134.5)     		ty = 134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 238 / 134 ti = "9/238/134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/238/134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 238 ÷ 29
    238 ÷ 512     		x = 0.46484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 134 ÷ 29
    134 ÷ 512     		y = 0.26171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46484375 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26171875 × 2 - 1) × π
    0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22089323} λ = -0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49716524893359))-π/2
    2×atan(4.46900258747256)-π/2
    2×1.35065904179333-π/2
    2.70131808358667-1.57079632675     		φ = 1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 238 KachelY 134 -0.22089323 1.13052176 -12.656250 64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 239 KachelY 134 -0.20862139 1.13052176 -11.953125 64.774125
    Unten links KachelX 238 KachelY + 1 135 -0.22089323 1.12526253 -12.656250 64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 239 KachelY + 1 135 -0.20862139 1.12526253 -11.953125 64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13052176-1.12526253) × R
    0.00525922999999984 × 6371000     		dl = 33506.554329999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13052176-1.12526253) × R
    0.00525922999999984 × 6371000     		dr = 33506.554329999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22089323--0.20862139) × cos(1.13052176) × R
    0.01227184 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 33321.0261856283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22089323--0.20862139) × cos(1.12526253) × R
    0.01227184 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 33692.537737402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13052176)-sin(1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.430939629631134)×R²
    abs(-0.20862139--0.22089323)×0.00475176585904108×R²
    0.01227184×0.00475176585904108×6371000²
    0.01227184×0.00475176585904108×40589641000000     		ar = 1122699397.99347m²