Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23792 / 27539
↖ ↑ ↗
← N 27.591066°
W 49.306641°		 ← 541.33 m → N 27.591066°
W 49.301148°		 →
↑
541.34 m
↓
↑
541.34 m
↓
N 27.586198°
W 49.306641°		 ← 541.35 m →
293 050 m²		 N 27.586198°
W 49.301148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363044738769531 y=0.420219421386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363044738769531 × 216)
    floor (0.363044738769531 × 65536)
    floor (23792.5)     		tx = 23792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420219421386719 × 216)
    floor (0.420219421386719 × 65536)
    floor (27539.5)     		ty = 27539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23792 / 27539 ti = "16/23792/27539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23792/27539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23792 ÷ 216
    23792 ÷ 65536     		x = 0.363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27539 ÷ 216
    27539 ÷ 65536     		y = 0.420211791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.27392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86056322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420211791992188 × 2 - 1) × π
    0.159576416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.501324096226547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86056322} λ = -0.86056322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501324096226547))-π/2
    2×atan(1.65090578224588)-π/2
    2×1.02617564001034-π/2
    2.05235128002069-1.57079632675     		φ = 0.48155495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86056322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48155495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.591066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23792 KachelY 27539 -0.86056322 0.48155495 -49.306641 27.591066
    Oben rechts KachelX + 1 23793 KachelY 27539 -0.86046735 0.48155495 -49.301148 27.591066
    Unten links KachelX 23792 KachelY + 1 27540 -0.86056322 0.48146998 -49.306641 27.586198
    Unten rechts KachelX + 1 23793 KachelY + 1 27540 -0.86046735 0.48146998 -49.301148 27.586198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48155495-0.48146998) × R
    8.4969999999962e-05 × 6371000     		dl = 541.343869999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48155495-0.48146998) × R
    8.4969999999962e-05 × 6371000     		dr = 541.343869999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86056322--0.86046735) × cos(0.48155495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886275807220862 × 6371000     		do = 541.326423897368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86056322--0.86046735) × cos(0.48146998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886315158543873 × 6371000     		du = 541.350459204197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48155495)-sin(0.48146998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886275807220862-0.886315158543873)×R²
    abs(-0.86046735--0.86056322)×3.93513230111386e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93513230111386e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93513230111386e-05×40589641000000     		ar = 293050.24710493m²