Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2379 / 1870
↖ ↑ ↗
← N 15.453680°
E 29.091797°		 ← 9 419.66 m → N 15.453680°
E 29.179687°		 →
↑
9 421.56 m
↓
↑
9 421.56 m
↓
N 15.368950°
E 29.091797°		 ← 9 423.50 m →
88 765 982 m²		 N 15.368950°
E 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5809326171875 y=0.4566650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5809326171875 × 212)
    floor (0.5809326171875 × 4096)
    floor (2379.5)     		tx = 2379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4566650390625 × 212)
    floor (0.4566650390625 × 4096)
    floor (1870.5)     		ty = 1870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2379 / 1870 ti = "12/2379/1870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2379/1870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2379 ÷ 212
    2379 ÷ 4096     		x = 0.580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1870 ÷ 212
    1870 ÷ 4096     		y = 0.45654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580810546875 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    0.0869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.27304858023584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50774764} λ = 0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.27304858023584))-π/2
    2×atan(1.31396407595896)-π/2
    2×0.920256964126273-π/2
    1.84051392825255-1.57079632675     		φ = 0.26971760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26971760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.453680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2379 KachelY 1870 0.50774764 0.26971760 29.091797 15.453680
    Oben rechts KachelX + 1 2380 KachelY 1870 0.50928162 0.26971760 29.179687 15.453680
    Unten links KachelX 2379 KachelY + 1 1871 0.50774764 0.26823878 29.091797 15.368950
    Unten rechts KachelX + 1 2380 KachelY + 1 1871 0.50928162 0.26823878 29.179687 15.368950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26971760-0.26823878) × R
    0.00147881999999999 × 6371000     		dl = 9421.56221999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26971760-0.26823878) × R
    0.00147881999999999 × 6371000     		dr = 9421.56221999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50774764-0.50928162) × cos(0.26971760) × R
    0.00153398000000005 × 0.963846182892362 × 6371000     		do = 9419.65581059156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50774764-0.50928162) × cos(0.26823878) × R
    0.00153398000000005 × 0.964239174105847 × 6371000     		du = 9423.49650844701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26971760)-sin(0.26823878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963846182892362-0.964239174105847)×R²
    abs(0.50928162-0.50774764)×0.000392991213485572×R²
    0.00153398000000005×0.000392991213485572×6371000²
    0.00153398000000005×0.000392991213485572×40589641000000     		ar = 88765982.1743036m²