Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2378 / 1030
↖ ↑ ↗
← N 82.659460°
W127.749024°		 ← 312.17 m → N 82.659460°
W127.727051°		 →
↑
312.18 m
↓
↑
312.18 m
↓
N 82.656652°
W127.749024°		 ← 312.29 m →
97 471 m²		 N 82.656652°
W127.727051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145172119140625 y=0.062896728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145172119140625 × 214)
    floor (0.145172119140625 × 16384)
    floor (2378.5)     		tx = 2378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.062896728515625 × 214)
    floor (0.062896728515625 × 16384)
    floor (1030.5)     		ty = 1030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2378 / 1030 ti = "14/2378/1030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2378/1030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2378 ÷ 214
    2378 ÷ 16384     		x = 0.1451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1030 ÷ 214
    1030 ÷ 16384     		y = 0.0628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.709716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22964108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0628662109375 × 2 - 1) × π
    0.874267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.74659260063074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22964108} λ = -2.22964108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74659260063074))-π/2
    2×atan(15.5894218954956)-π/2
    2×1.50673803068911-π/2
    3.01347606137821-1.57079632675     		φ = 1.44267973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22964108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.749024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44267973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.659460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2378 KachelY 1030 -2.22964108 1.44267973 -127.749024 82.659460
    Oben rechts KachelX + 1 2379 KachelY 1030 -2.22925758 1.44267973 -127.727051 82.659460
    Unten links KachelX 2378 KachelY + 1 1031 -2.22964108 1.44263073 -127.749024 82.656652
    Unten rechts KachelX + 1 2379 KachelY + 1 1031 -2.22925758 1.44263073 -127.727051 82.656652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44267973-1.44263073) × R
    4.89999999999657e-05 × 6371000     		dl = 312.178999999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44267973-1.44263073) × R
    4.89999999999657e-05 × 6371000     		dr = 312.178999999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22964108--2.22925758) × cos(1.44267973) × R
    0.00038349999999987 × 0.127766402955546 × 6371000     		do = 312.168905363517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22964108--2.22925758) × cos(1.44263073) × R
    0.00038349999999987 × 0.12781500121227 × 6371000     		du = 312.287644439307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44267973)-sin(1.44263073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127766402955546-0.12781500121227)×R²
    abs(-2.22925758--2.22964108)×4.85982567233201e-05×R²
    0.00038349999999987×4.85982567233201e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.85982567233201e-05×40589641000000     		ar = 97471.1106510527m²