Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23772 / 27474
↖ ↑ ↗
← N 27.907058°
W 49.416504°		 ← 539.81 m → N 27.907058°
W 49.411011°		 →
↑
539.75 m
↓
↑
539.75 m
↓
N 27.902204°
W 49.416504°		 ← 539.84 m →
291 372 m²		 N 27.902204°
W 49.411011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362739562988281 y=0.419227600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362739562988281 × 216)
    floor (0.362739562988281 × 65536)
    floor (23772.5)     		tx = 23772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419227600097656 × 216)
    floor (0.419227600097656 × 65536)
    floor (27474.5)     		ty = 27474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23772 / 27474 ti = "16/23772/27474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23772/27474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23772 ÷ 216
    23772 ÷ 65536     		x = 0.36273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27474 ÷ 216
    27474 ÷ 65536     		y = 0.419219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.2745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86248070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419219970703125 × 2 - 1) × π
    0.16156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507555893177155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86248070} λ = -0.86248070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507555893177155))-π/2
    2×atan(1.66122601526466)-π/2
    2×1.0289331899522-π/2
    2.0578663799044-1.57079632675     		φ = 0.48707005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86248070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.416504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48707005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.907058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23772 KachelY 27474 -0.86248070 0.48707005 -49.416504 27.907058
    Oben rechts KachelX + 1 23773 KachelY 27474 -0.86238482 0.48707005 -49.411011 27.907058
    Unten links KachelX 23772 KachelY + 1 27475 -0.86248070 0.48698533 -49.416504 27.902204
    Unten rechts KachelX + 1 23773 KachelY + 1 27475 -0.86238482 0.48698533 -49.411011 27.902204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48707005-0.48698533) × R
    8.47199999999826e-05 × 6371000     		dl = 539.751119999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48707005-0.48698533) × R
    8.47199999999826e-05 × 6371000     		dr = 539.751119999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86248070--0.86238482) × cos(0.48707005) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.88370797972056 × 6371000     		do = 539.81432729976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86248070--0.86238482) × cos(0.48698533) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.883747628786139 × 6371000     		du = 539.83854699015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48707005)-sin(0.48698533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88370797972056-0.883747628786139)×R²
    abs(-0.86238482--0.86248070)×3.96490655791837e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.96490655791837e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.96490655791837e-05×40589641000000     		ar = 291371.924228751m²