Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23759 / 27509
↖ ↑ ↗
← N 27.737023°
W 49.487915°		 ← 540.66 m → N 27.737023°
W 49.482422°		 →
↑
540.64 m
↓
↑
540.64 m
↓
N 27.732161°
W 49.487915°		 ← 540.68 m →
292 311 m²		 N 27.732161°
W 49.482422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362541198730469 y=0.419761657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362541198730469 × 216)
    floor (0.362541198730469 × 65536)
    floor (23759.5)     		tx = 23759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419761657714844 × 216)
    floor (0.419761657714844 × 65536)
    floor (27509.5)     		ty = 27509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23759 / 27509 ti = "16/23759/27509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23759/27509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23759 ÷ 216
    23759 ÷ 65536     		x = 0.362533569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27509 ÷ 216
    27509 ÷ 65536     		y = 0.419754028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.362533569335938 × 2 - 1) × π
    -0.274932861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86372706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419754028320312 × 2 - 1) × π
    0.160491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.504200310203751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86372706} λ = -0.86372706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504200310203751))-π/2
    2×atan(1.65566097573065)-π/2
    2×1.02744934949269-π/2
    2.05489869898538-1.57079632675     		φ = 0.48410237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86372706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.487915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48410237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.737023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23759 KachelY 27509 -0.86372706 0.48410237 -49.487915 27.737023
    Oben rechts KachelX + 1 23760 KachelY 27509 -0.86363118 0.48410237 -49.482422 27.737023
    Unten links KachelX 23759 KachelY + 1 27510 -0.86372706 0.48401751 -49.487915 27.732161
    Unten rechts KachelX + 1 23760 KachelY + 1 27510 -0.86363118 0.48401751 -49.482422 27.732161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48410237-0.48401751) × R
    8.48600000000199e-05 × 6371000     		dl = 540.643060000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48410237-0.48401751) × R
    8.48600000000199e-05 × 6371000     		dr = 540.643060000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86372706--0.86363118) × cos(0.48410237) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.885093075253219 × 6371000     		do = 540.660414955826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86372706--0.86363118) × cos(0.48401751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.88513256710351 × 6371000     		du = 540.684538611024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48410237)-sin(0.48401751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885093075253219-0.88513256710351)×R²
    abs(-0.86363118--0.86372706)×3.94918502908403e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.94918502908403e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.94918502908403e-05×40589641000000     		ar = 292310.822481522m²